设有齐次线性方程组 (1+a)x1+x2+x3+x4=0 2x1+(2+a)x2+2x3+2x4=0 3x1+3x2+(3+a)x3+3x4=0 4x1+4x2+4x3+(4+a)x4=0 ，试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

步骤 1：计算系数行列式
首先，我们需要计算方程组的系数行列式，以确定方程组是否有非零解。系数行列式为：
|A|=
.
1+a
1
1
1
2
2+a
2
2
3
3
3+a
3
4
4
4
4+a
.
步骤 2：计算行列式的值
通过计算，我们得到行列式的值为：
|A|=a^3(a+10)
步骤 3：确定方程组有非零解的条件
当行列式的值为0时，方程组有非零解。因此，我们需要解方程：
a^3(a+10)=0
解得：a=0 或 a=-10
步骤 4：求解a=0时的通解
当a=0时，系数矩阵变为：
A=
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
对矩阵A进行初等行变换，得到：
A=
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
由于r（A）=1＜4，因而方程组有无穷多解。取x_2，x_3，x_4为自由变量，则：
x_1=-x_2-x_3-x_4
令：(x2，x3，x4)T为单位向量组，解得其基础解系：
η1=(-1，1，0，0)T，η2=(-1，0，1，0)T，η3=(-1，0，0，1)T
于是所求方程组的通解为：
x=k_1η_1+k_2η_2+k_3η_3，其中k_1，k_2，k_3为任意常数。
步骤 5：求解a=-10时的通解
当a=-10时，系数矩阵变为：
A=
-9
1
1
1
2
-8
2
2
3
3
-7
3
4
4
4
-6
对矩阵A进行初等行变换，得到：
A=
0
0
0
0
-2
1
0
0
-3
0
1
0
-4
0
0
1
由于r（A）=3＜4，因而方程组有无穷多解。取x_1为自由变量，则方程组的同解方程组为：
x2=2x1
x3=3x1
x4=4x1
令：x_1=1，得其基础解系为：
η=（1，2，3，4）^{T}
所以所求方程组的通解为：
x=kη，其中k为任意常数。