一质点沿一直线运动,其加速度为a = -2x,式中x的单位为m,a的单位为m/s2。试求该质点的速度v与位置坐标x之间的关系。设当x = 0时,v0 = 4 m/s。

考查要点：本题主要考查变力作用下的运动学方程求解，涉及微分方程的建立与求解，以及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 将加速度表达式转换为速度与位移的关系：利用链式法则，将加速度$a = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$转换为关于位移$x$的表达式，即$a = v \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$。
2. 分离变量积分：将微分方程整理为可分离变量的形式，分别对速度$v$和位移$x$积分。
3. 代入初始条件确定积分常数：利用$x=0$时$v=v_0=4 \, \text{m/s}$，确定积分常数，最终得到$v$与$x$的关系式。

破题关键点：

• 正确应用链式法则，将时间导数转换为位移导数。
• 积分时注意符号与常数项的处理，并利用初始条件消去积分常数。

建立微分方程
根据题意，加速度为$a = -2x$，而加速度也可表示为$a = v \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$，因此有：
$v \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = -2x$

分离变量并积分
将方程整理为：
$v \, \mathrm{d}v = -2x \, \mathrm{d}x$
对两边分别积分：
$\int_{v_0}^{v} v \, \mathrm{d}v = \int_{0}^{x} -2x \, \mathrm{d}x$
计算得：
$\frac{1}{2}v^2 - \frac{1}{2}v_0^2 = -x^2$

代入初始条件
已知$x=0$时$v=v_0=4 \, \text{m/s}$，代入上式：
$\frac{1}{2}(4)^2 - \frac{1}{2}v_0^2 = -0^2 \quad \Rightarrow \quad \text{恒成立}$
整理得：
$\frac{1}{2}v^2 = -x^2 + \frac{1}{2}v_0^2$
两边乘以2并移项：
$v^2 = v_0^2 - 2x^2$
代入$v_0=4$，最终得到：
$v = \sqrt{16 - 2x^2}$