填空题（共11题，55.0分）19.（5.0分）一张考卷上有4道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的.求某学生靠猜测能答对不超过2道题的概率是____

设答对题目数为 $ X $，则 $ X $ 服从二项分布 $ B(4, \frac{1}{4}) $。 求 $ P(X \leq 2) $，即答对0、1或2道题的概率。 计算得： \[ P(X = 0) = \left( \frac{3}{4} \right)^4 = \frac{81}{256} \] \[ P(X = 1) = 4 \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{4} \right)^3 = \frac{108}{256} \] \[ P(X = 2) = 6 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{54}{256} \] 相加得： \[ P(X \leq 2) = \frac{81 + 108 + 54}{256} = \frac{243}{256} \] 或计算答对超过2题的概率： \[ P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) = \frac{12}{256} + \frac{1}{256} = \frac{13}{256} \] 则： \[ P(X \leq 2) = 1 - P(X > 2) = \frac{243}{256} \] **答案：** $\boxed{\frac{243}{256}}$