题目

设=u(√x^2+ y^2)有二阶连续偏导数，且满足=u(√x^2+ y^2)，=u(√x^2+ y^2)。（I）求=u(√x^2+ y^2)；（II）求=u(√x^2+ y^2)的极值。

设 $u = u\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} } \right)$ 有二阶连续偏导数，且满足 $x\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + y\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ ， $u\left( {0,0} \right) = 0$ 。

（I）求 $u\left( {x,y} \right)$ ；

（II）求 $f\left( {x,y} \right) = u\left( {x,y} \right){e^{ - u\left( {x,y} \right)}}$ 的极值。

题目解答

答案

（I）首先对 $u\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 求全微分得到

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

根据链式法则，令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ，则

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}\frac{\partial u}{\partial r}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r}\frac{\partial u}{\partial r}$

将上述结果代入原方程 $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$ ，得到

$x\frac{x}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+y\frac{y}{r}\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{2}r^2$

即

$x^2\frac{\partial u}{\partial r}+y^2\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{2}r^3$

将方程从极坐标形式转换为直角坐标形式， $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ， $x=r\cos\theta$ ， $y=r\sin\theta$ ，其中 $\theta$ 为 $x$ 轴与 $r$ 之间的夹角， $0\le\theta<2\pi$ 。将上述变换代入原方程中，有

$r^2\cos^2\theta\frac{\partial u}{\partial r}+r^2\sin^2\theta\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{2}r^3$

即

$r^2\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{2}r^3$

解得 $\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{2}r$ 。对上式积分得 $u=\frac{1}{4}r^2+C$ ，其中 $C$ 为常数。由于 $u\left(0,0\right)=0$ ，可得 $C=0$ ，所以 $u=\frac{1}{4}r^2=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)$ 。

（II）对于 $f\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)e^{-u\left(x,y\right)}$ ，

$f\left(x,y\right)=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)e^{-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}$

首先计算梯度， $\begin{array}{ll} \nabla f &= \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) \\ & = \left( {\frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}},\frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}}} \right)\\ & = \left( {\frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}},\frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}}} \right) \\ & = \left( {\frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}x{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)},\frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}} - \frac{1}{2}y{e^{ - \frac{1}{4}\left( {x^2 + y^2} \right)}}}} \right) \\ \end{array}$

令梯度为零，解方程组

$\frac{1}{2}xe^{-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}-\frac{1}{2}xe^{-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}=0$

$\frac{1}{2}ye^{-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}-\frac{1}{2}ye^{-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}=0$

可得 $x=0$ ， $y=0$ 。将上述解代入原函数 $f\left(x,y\right)=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)e^{-\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)}$ 中，得到 $f\left(x,y\right)=0$ 。因此， $f\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)e^{-u\left(x,y\right)}$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值为 $0$ 。

故，本题的答案为（I） $u=\frac{1}{4}\left(x^2+y^2\right)$ ；（II） $f\left(x,y\right)=u\left(x,y\right)e^{-u\left(x,y\right)}$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值为 $0$ 。