题目

解方程_(2)-3(x)_(3)+4(x)_(4)=-5-|||-x1- 2x3+324 =-4-|||-(x)_(1)+2(x)_(2)-5(x)_(4)=12-|||-4x1+3x2-5x3 =5

解方程 $\begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ x_2-3x_3+4x_4=-5\\ x_1-\ \ \ \ \ \ \ 2x_3+3x_4=-4\\ 3x_1+2x_2-\ \ \ \ \ 5x_4=12\\ 4x_1+3x_2-5x_3\ \ \ \ \ =5 \end{cases}$

题目解答

答案

方程组的系数矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -3 & 4\\ 1 & 0 & -2 & 3\\ 3 & 2 & 0 & -5\\ 4 & 3 & -5 &0 \end{pmatrix}$ ，可轻易得出 $\left|A\right|=24$ ；

由于克莱姆法则，有

$x_1=\frac {\begin{vmatrix} -5 & 1 & -3 & 4\\ -4 & 0 & -2 & 3\\ 12 & 2 & 0 & -5\\ 5 & 3 & -5 &0 \end{vmatrix}}{|A|}=1$ ，

$x_2=\frac {\begin{vmatrix} 0 & -5 & -3 & 4\\ 1 & -4 & -2 & 3\\ 3 & 12 & 0 & -5\\ 4 & 5 & -5 &0 \end{vmatrix}}{|A|}=2$ ，

$x_3=\frac {\begin{vmatrix} 0 & 1 & -5 & 4\\ 1 & 0 & -4 & 3\\ 3 & 2 & 12 & -5\\ 4 & 3 & 5 &0 \end{vmatrix}}{|A|}=1$ ，

$x_4=\frac {\begin{vmatrix} 0 & 1 & -3 & -5\\ 1 & 0 & -2 & -4\\ 3 & 2 & 0 & 12\\ 4 & 3 & -5 &5 \end{vmatrix}}{|A|}=-1$ ，

即方程的解为 $x_1=1\ ,\ x_2=2\ ,\ x_3=1\ ,\ x_4=-1$ .

解析

考查要点：本题主要考查克莱姆法则的应用，即利用行列式求解线性方程组的解。

解题核心思路：

验证方程组形式：方程组需为n元n次方程组，且系数矩阵行列式$|A| \neq 0$。
计算各变量对应的行列式：将系数矩阵的第$i$列替换为常数项，得到行列式$D_i$。
代入克莱姆公式：每个变量$x_i = \frac{D_i}{|A|}$。

破题关键点：

正确计算行列式：需熟练掌握行列式的展开方法（如展开式、三角化等）。
替换列的准确性：确保替换列时对应位置正确，避免行列式计算错误。

步骤1：验证方程组条件
题目中方程组为四元一次方程组，系数矩阵行列式$|A|=24 \neq 0$，满足克莱姆法则的应用条件。

步骤2：计算各变量对应的行列式

$D_1$：将系数矩阵第1列替换为常数项，计算行列式。
$D_2$：将系数矩阵第2列替换为常数项，计算行列式。
$D_3$：将系数矩阵第3列替换为常数项，计算行列式。
$D_4$：将系数矩阵第4列替换为常数项，计算行列式。

步骤3：代入克莱姆公式
根据公式$x_i = \frac{D_i}{|A|}$，依次计算得：
$x_1 = \frac{D_1}{24} = 1, \quad x_2 = \frac{D_2}{24} = 2, \quad x_3 = \frac{D_3}{24} = 1, \quad x_4 = \frac{D_4}{24} = -1.$