题目
如图(a)所示,金属杆AB 以匀速=2.0mcdot (s)^-1平行于一长直导线移动,此导线通有电流I =40A.求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?=2.0mcdot (s)^-1
如图(a)所示,金属杆AB 以匀速
平行于一长直导线移动,此导线通有电流I =40A.求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?
平行于一长直导线移动,此导线通有电流I =40A.求杆中的感应电动势,杆的哪一端电势较高?
题目解答
答案
解析:本题可用两种方法求解.(1) 用公式
求解,建立图(a)所示的坐标系,所取导体元
,该处的磁感强度
.(2) 用法拉第电磁感应定律求解,需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路.为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动,如图(b)所示.设时刻t,杆AB 距导轨下端CD的距离为y,先用公式
求得穿过该回路的磁通量,再代入公式
,即可求得回路的电动势,亦即本题杆中的电动势.
求解,建立图(a)所示的坐标系,所取导体元,该处的磁感强度.(2) 用法拉第电磁感应定律求解,需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路.为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动,如图(b)所示.设时刻t,杆AB 距导轨下端CD的距离为y,先用公式求得穿过该回路的磁通量,再代入公式,即可求得回路的电动势,亦即本题杆中的电动势.解1 根据分析,杆中的感应电动势为
式中负号表示电动势方向由B 指向A,故点A 电势较高.解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向,根据分析,在距直导线x 处,取宽为dx、长为y 的面元dS,则穿过面元的磁通量为
穿过回路的磁通量为
回路的电动势为
由于静止的形导轨上电动势为零,所以
式中负号说明回路电动势方向为逆时针,对AB 导体来说,电动势方向应由B 指向A,故点A 电势较高.
解析
步骤 1：确定磁感应强度
根据安培环路定理，长直导线周围产生的磁感应强度$B$为$B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，$I$是导线中的电流，$r$是到导线的距离。
步骤 2：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E$为$E={\int }_{1}^{2}(v\times B)\cdot d\ell$，其中$v$是金属杆的速度，$B$是磁感应强度，$d\ell$是导体元的长度。在本题中，$v$和$B$的方向垂直，因此$v\times B$的大小为$vB$。将$B$的表达式代入，得到$E={\int }_{1}^{2}v\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}d\ell$。由于金属杆平行于导线移动，$r$在积分过程中保持不变，因此$E=v\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\int }_{1}^{2}d\ell=v\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\ell$，其中$\ell$是金属杆的长度。
步骤 3：确定电势较高的一端
根据右手定则，感应电动势的方向由B指向A，因此点A的电势较高。
根据安培环路定理，长直导线周围产生的磁感应强度$B$为$B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，$I$是导线中的电流，$r$是到导线的距离。
步骤 2：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势$E$为$E={\int }_{1}^{2}(v\times B)\cdot d\ell$，其中$v$是金属杆的速度，$B$是磁感应强度，$d\ell$是导体元的长度。在本题中，$v$和$B$的方向垂直，因此$v\times B$的大小为$vB$。将$B$的表达式代入，得到$E={\int }_{1}^{2}v\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}d\ell$。由于金属杆平行于导线移动，$r$在积分过程中保持不变，因此$E=v\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}{\int }_{1}^{2}d\ell=v\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\ell$，其中$\ell$是金属杆的长度。
步骤 3：确定电势较高的一端
根据右手定则，感应电动势的方向由B指向A，因此点A的电势较高。