题目

[2024吉林调考考试]传送带是建筑工地常见-|||-的运输装置,如图所示为传送带AB的简易图,-|||-传送带的倾角为 alpha =(30)^circ , 以 _(0)=8m/s 的速度-|||-顺时针匀速转动,将质量 _(2)=300kg 的工料-|||-(可视为质点)轻轻地放到传送带的底端A点,-|||-并用平行于传送带的轻绳连接在工料上,启动-|||-电动机,电动机对工料提供的牵引力恒为 F=-|||-000N,经过 _(0)=2s 关闭电动机,一段时间后-|||-工件刚好到达传送带的最高点B。已知工料与-|||-传送带之间的动摩擦因数为 mu =dfrac (sqrt {3)}(5), 重力加速-|||-度 =10m/(s)^2, 不计空气阻力。求:-|||-∠-|||-电动机 A-|||-⊙-|||-A-|||-(1) _(0)=2s 时,工料的速度大小;-|||-(2)刚关闭电动机时,工料的加速度;-|||-(3)传送带A、B两端间的距离。

题目解答

答案



解析

本题主要考察牛顿第二定律在传送带问题中的应用，需结合受力分析、运动学公式分阶段计算工料的速度、加速度及传送带两端距离，具体思路如下：

（1）求$t_0=2s$时工料的速度大小

工料运动分两阶段：

  1. 加速到与传送带共速阶段：
    刚放上传送带时，工料速度$v=0\lt v_0=8m/s$，相对传送带向下滑动，摩擦力沿传送带向上。
    受力分析：牵引力$F$向上、重力分力$m_2g\sin\alpha$向下、摩擦力$\mu m_2g\cos\alpha$向上。
    牛顿第二定律：$F - m_2g\sin\alpha + \mu m_2g\cos\alpha = m_2a_1$
    代入数据：$3000 - 300\times10\times0.5 + \frac{\sqrt{3}}{5}\times300\times10\times\frac{\sqrt{3}}{2} = 300a_1$
    计算得：$3000 - 1500 + 900 = 300a_1\Rightarrow a_1=8m/s^2$
    达共速时间：$t_1=\frac{v_0}{a_1}=\frac{8}{8}=1s\lt2s$，位移$x_1=\frac{v_0^2}{2a_1}=4m$。

  2. 共速后继续加速阶段：
    之后工料速度$v\gt v_0$，相对传送带向上滑动，摩擦力沿传送带向下。
    牛顿第二定律：$F - m_2g\sin\alpha - \mu m_2g\cos\alpha = m_2a_2$
    代入数据：$3000 - 1500 - 900 = 300a_2\Rightarrow a_2=2m/s^2$
    $t_0=2s$时速度：$v = v_0 + a_2(t_0 - t_1)=8 + 2\times1=10m/s$。

（2）求刚关闭电动机时工料的加速度

关闭电动机后，牵引力$F=0$，工料仅受重力、支持力和摩擦力。
此时工料速度$v=10m/s\gt v_0=8m/s$，相对传送带向上滑动，摩擦力沿传送带向下。
牛顿第二定律：$m_2g\sin\alpha + \mu m_2g\cos\alpha = m_2a_3$
代入数据：$a_3=g\sin\alpha + \mu g\cos\alpha=10\times0.5 + \frac{\sqrt{3}}{5}\times10\times\frac{\sqrt{3}}{2}=5 + 3=8m/s^2$，方向沿传送带向下。

（3）求传送带A、B两端间的距离

关闭电动机后，工料运动分两阶段：

  1. 减速到与传送带共速阶段：
    初速度$v=10m/s$，末速度$v_0=8m/s$，加速度$a_3=8m/s^2$（向下）。
    位移：$v_0^2 - v^2 = 2(-a_3)x_3\Rightarrow x_3=\frac{v^2 - v_0^2}{2a_3}=\frac{100 - 64}{16}=2.25m$。

  2. 共速后继续减速阶段：
    达共速后，工料速度$v_0=8m/s$，若继续向上，重力分力$m_2g\sin\alpha$大于摩擦力$\mu m_2g\cos\alpha$（$1500\gt900$），仍减速，摩擦力转为向上。
    牛顿第二定律：$m_2g\sin\alpha - \mu m_2g\cos\alpha = m_2a_4\Rightarrow a_4=g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha=5 - 3=2m/s^2$（向下）。
    位移：$0 - v_0^2 = 2(-a_4)x_4\Rightarrow x_4=\frac{v_0^2}{2a_4}=\frac{64}{4}=16m$。

总距离：$x=x_1 + x_2 + x_3 + x_4$，其中$x_2=\frac{v^2 - v_0^2}{2a_2}=\frac{100 - 64}{4}=9m$，故$x=4 + 9 + 2.25 + 16=31.25m$。