设(alpha )_(1)=(1,0,0) ,(alpha )_(2)=(0,1,0) 一_(3)=(2,2,0) ,_(4)=(1,1,1)则对向量组(alpha )_(1)=(1,0,0) ,(alpha )_(2)=(0,1,0) 一_(3)=(2,2,0) ,_(4)=(1,1,1)说法正确的是( )A.相关B.无关C.秩为4D.相互正交

步骤 1：确定向量组的线性相关性
向量组${\alpha }_{1}=(1,0,0)$, ${\alpha }_{2}=(0,1,0)$, ${\alpha }_{3}=(2,2,0)$, ${\alpha }_{4}=(1,1,1)$的线性相关性可以通过检查它们是否可以线性组合成零向量来确定。如果存在不全为零的数${k}_{1}$, ${k}_{2}$, ${k}_{3}$, ${k}_{4}$使得${k}_{1}{\alpha }_{1}+{k}_{2}{\alpha }_{2}+{k}_{3}{\alpha }_{3}+{k}_{4}{\alpha }_{4}=(0,0,0)$，则向量组线性相关。
步骤 2：计算线性组合
将向量组代入线性组合公式，得到：
${k}_{1}(1,0,0)+{k}_{2}(0,1,0)+{k}_{3}(2,2,0)+{k}_{4}(1,1,1)=(0,0,0)$
这可以写成：
$(k_{1}+2k_{3}+k_{4}, k_{2}+2k_{3}+k_{4}, k_{4})=(0,0,0)$
步骤 3：求解线性方程组
从上述方程组中，可以得到：
$k_{1}+2k_{3}+k_{4}=0$
$k_{2}+2k_{3}+k_{4}=0$
$k_{4}=0$
从第三个方程可知${k}_{4}=0$，代入前两个方程得到：
$k_{1}+2k_{3}=0$
$k_{2}+2k_{3}=0$
这两个方程表明${k}_{1}=-2k_{3}$和${k}_{2}=-2k_{3}$，因此存在非零解，即${k}_{3}$可以取任意非零值，${k}_{1}$和${k}_{2}$相应地取值。这表明向量组线性相关。