题目

5/47 判断题(分值2.0分，难度：易)当x→∞时，y=(x-1)/(x^2)-1是无穷小bigcirc对bigcirc错

5/47 判断题(分值2.0分，难度：易) 当x→∞时，$y=\frac{x-1}{x^{2}-1}$是无穷小 $\bigcirc$对 $\bigcirc$错

题目解答

答案

当 $x \to \infty$ 时，考虑函数 $y = \frac{x-1}{x^2-1}$。首先，将分母因式分解得 $y = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}$。对于 $x \neq 1$，可约分得 $y = \frac{1}{x+1}$（注意 $x \to \infty$ 时，$x \neq 1$）。 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x+1} \to 0$，因此 $y$ 趋于无穷小。 综上，原命题正确。 答案：对

解析

本题考查函数极限的知识以及判断函数是否为无穷小的解题思路。解题思路是先对函数进行化简，然后再求当$x\to\infty$时函数的极限，最后根据极限值判断函数是否为无穷小。

  1. 对函数$y = \frac{x - 1}{x^2 - 1}$的分母进行因式分解：
    根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，可得$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，则$y = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$。
  2. 约去分子分母的公因式：
    因为$x\to\infty$时，$x\neq1$，所以可以约去$x - 1$，得到$y = \frac{1}{x + 1}$。
  3. 求当$x\to\infty$时函数$y = \frac{1}{x + 1}$的极限：
    当$x\to\infty$时，$x + 1\to\infty$，那么$\frac{1}{x + 1}\to 0$。
  4. 根据极限值判断函数是否为无穷小：
    因为当$x\to\infty$时，函数$y$的极限为$0$，所以当$x\to\infty$时，$y = \frac{x - 1}{x^2 - 1}$是无穷小，原命题正确。