设随机变量 X 服从参数为 lambda 的泊松分布，且 PX=1=PX=2，则 PX>2 的值为（ ）。A. e^-2B. 1-(5)/(e^2)C. 1-(4)/(e^2)D. 1-(2)/(e^2)

本题考查泊松分布的概率公式及概率的基本性质。解题思路是先根据泊松分布的概率公式以及已知条件$P\{X = 1\} = P\{X = 2\}$求出参数$\lambda$的值，再利用概率的基本性质$P\{X\gt 2\}=1 - P\{X\leqslant 2\}$，结合泊松分布概率公式计算$P\{X\leqslant 2\}$，进而求出$P\{X\gt 2\}$。

步骤一：根据泊松分布概率公式及已知条件求出$\lambda$的值

若随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$X\sim P(\lambda)$，其概率质量函数为$P\{X = k\} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，$k = 0, 1, 2, \cdots$。
已知$P\{X = 1\} = P\{X = 2\}$，将其代入概率质量函数可得：
$\frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!}$
因为$e^{-\lambda}\neq 0$，两边同时除以$e^{-\lambda}$得到：
$\frac{\lambda}{1} = \frac{\lambda^2}{2}$
移项可得$\lambda^2 - 2\lambda = 0$，提取公因式$\lambda$得到$\lambda(\lambda - 2) = 0$，解得$\lambda = 0$或$\lambda = 2$。
由于泊松分布中$\lambda\gt 0$，所以$\lambda = 2$。

步骤二：计算$P\{X\leqslant 2\}$

$P\{X\leqslant 2\} = P\{X = 0\} + P\{X = 1\} + P\{X = 2\}$
将$\lambda = 2$代入泊松分布概率质量函数分别计算各项：

• $P\{X = 0\} = \frac{2^0 e^{-2}}{0!} = e^{-2}$
• $P\{X = 1\} = \frac{2^1 e^{-2}}{1!} = 2e^{-2}$
• $P\{X = 2\} = \frac{2^2 e^{-2}}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$
  所以$P\{X\leqslant 2\} = e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2}$。

步骤三：计算$P\{X\gt 2\}$

根据概率的基本性质$P\{X\gt 2\} = 1 - P\{X\leqslant 2\}$，将$P\{X\leqslant 2\} = 5e^{-2}$代入可得：
$P\{X\gt 2\} = 1 - 5e^{-2} = 1 - \frac{5}{e^2}$