int_(0)^(pi)/(2) dtheta int_(0)^2costheta r^2 dr = A (1)/(4) B 2pi C (16)/(9)

为了解决给定的二重积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2\cos\theta}r^{2}dr$，我们将分步骤进行。 1. **计算内积分：** 内积分是关于 $r$ 的，从 $0$ 到 $2\cos\theta$。被积函数是 $r^2$。因此，我们有： \[ \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \, dr \] $r^2$ 的反导数是 $\frac{r^3}{3}$。从 $0$ 到 $2\cos\theta$ 评估这个反导数，我们得到： \[ \left. \frac{r^3}{3} \right|_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8\cos^3\theta}{3} \] 因此，内积分的结果是 $\frac{8\cos^3\theta}{3}$。 2. **计算外积分：** 现在我们需要关于 $\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 积分 $\frac{8\cos^3\theta}{3}$。因此，我们有： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8\cos^3\theta}{3} \, d\theta \] 我们可以将常数 $\frac{8}{3}$ 从积分中提出： \[ \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \, d\theta \] 为了积分 $\cos^3\theta$，我们使用恒等式 $\cos^3\theta = \cos\theta(1 - \sin^2\theta)$： \[ \cos^3\theta = \cos\theta - \cos\theta\sin^2\theta \] 因此，积分变为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \] 第一个积分是： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \, d\theta = \left. \sin\theta \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 \] 第二个积分可以通过代换 $u = \sin\theta$，所以 $du = \cos\theta \, d\theta$ 来求解。当 $\theta = 0$ 时，$u = 0$，当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = 1$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{1} u^2 \, du = \left. \frac{u^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \] 将所有部分放在一起，我们得到： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \, d\theta = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] 因此，外积分的结果是： \[ \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9} \] 因此，给定二重积分的值是 $\boxed{\frac{16}{9}}$。正确选项是 $\boxed{C}$。