34.设函数 f(x)= , xlt 0 3{x)^2-2x+k,xgeqslant 0 . 在点 x=0 处极限存在,求k的值.

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限存在条件，涉及左极限与右极限的计算，以及反三角函数arctan的极限性质。

解题核心思路：

1. 极限存在条件：函数在某点处的极限存在当且仅当左极限和右极限均存在且相等。
2. 左极限计算：当$x \to 0^-$时，分析$\arctan \frac{1}{x}$的极限值。
3. 右极限计算：当$x \to 0^+$时，代入二次函数表达式求极限。
4. 等式联立：令左右极限相等，解出$k$的值。

破题关键点：

• 掌握$\arctan x$的极限性质：$\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$。
• 正确代入分段表达式：注意$x \geq 0$时函数形式为$3x^2 - 2x + k$，当$x \to 0^+$时，高阶无穷小可忽略。

步骤1：计算左极限
当$x \to 0^-$时，$x$为负数，$\frac{1}{x} \to -\infty$。根据$\arctan x$的极限性质：
$\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$
因此，左极限为：
$\lim_{x \to 0^-} \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$

步骤2：计算右极限
当$x \to 0^+$时，代入表达式$3x^2 - 2x + k$，由于$x^2$和$x$均为高阶无穷小，趋近于0，因此：
$\lim_{x \to 0^+} (3x^2 - 2x + k) = k$

步骤3：联立左右极限
根据极限存在条件，左右极限相等：
$-\frac{\pi}{2} = k$
解得：
$k = -\frac{\pi}{2}$