题目
求由抛物线y=3-x^2与直线y=2x所围成的平面图形的面积?
求由抛物线$$y=3-x^2$$与直线$$y=2x$$所围成的平面图形的面积?
题目解答
答案
$$A=\int_{-3}^{1}[ {3-x^2})-2x]\,{\rm dx}$$$$=[3x-\frac{1}{3}x^3-x^2]|_{-3}^1$$$$=\frac{32}{3}$$
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要找到抛物线$$y=3-x^2$$与直线$$y=2x$$的交点。为此，我们设置两个方程相等，即$$3-x^2=2x$$，解这个方程以找到交点的x坐标。
步骤 2：解方程
解方程$$3-x^2=2x$$，得到$$x^2+2x-3=0$$，这是一个二次方程，可以使用求根公式解得$$x=-3$$和$$x=1$$。
步骤 3：计算面积
接下来，我们计算由这两个曲线围成的区域的面积。这可以通过计算两个函数在交点之间的积分差来完成。即$$A=\int_{-3}^{1}[(3-x^2)-2x]\,{\rm dx}$$。
首先，我们需要找到抛物线$$y=3-x^2$$与直线$$y=2x$$的交点。为此，我们设置两个方程相等，即$$3-x^2=2x$$，解这个方程以找到交点的x坐标。
步骤 2：解方程
解方程$$3-x^2=2x$$，得到$$x^2+2x-3=0$$，这是一个二次方程，可以使用求根公式解得$$x=-3$$和$$x=1$$。
步骤 3：计算面积
接下来，我们计算由这两个曲线围成的区域的面积。这可以通过计算两个函数在交点之间的积分差来完成。即$$A=\int_{-3}^{1}[(3-x^2)-2x]\,{\rm dx}$$。