[题目]设 lim _(xarrow 0)dfrac ((1+x)(1+2x)(1+3x)+a)(x)=6 则a的值为-|||-()-|||-A. -1-|||-B.1-|||-C.2-|||-D.3

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用极限存在的条件求解参数，以及多项式展开或泰勒展开的应用。

解题核心思路：
当分式 $\dfrac{f(x)}{x}$ 的极限存在且为有限数时，分子 $f(x)$ 在 $x \to 0$ 时必须趋近于 $0$（否则分式会趋向无穷）。利用这一条件可求出参数 $a$，再通过展开分子验证极限值是否符合题意。

破题关键点：

1. 分子趋近于0的条件：由极限存在性得出 $1 + a = 0$，从而确定 $a = -1$。
2. 展开验证：将分子展开到一阶项，约分后直接求极限，验证结果是否为 $6$。

步骤1：确定分子趋近于0的条件

由题意，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)+a}{x}=6$ 存在，说明当 $x \to 0$ 时，分子 $(1+x)(1+2x)(1+3x)+a$ 必须趋近于 $0$。
代入 $x=0$ 得：
$1 \cdot 1 \cdot 1 + a = 0 \implies 1 + a = 0 \implies a = -1.$

步骤2：展开分子并验证极限

将 $a = -1$ 代入分子，展开 $(1+x)(1+2x)(1+3x)$：

1. 展开前两括号：
   $(1+x)(1+2x) = 1 + 3x + 2x^2.$
2. 与第三括号相乘：
   $(1 + 3x + 2x^2)(1 + 3x) = 1 + 6x + 11x^2 + 6x^3.$
3. 代入 $a = -1$：
   分子变为：
   $1 + 6x + 11x^2 + 6x^3 - 1 = 6x + 11x^2 + 6x^3.$

步骤3：约分并求极限

分式化简为：
$\dfrac{6x + 11x^2 + 6x^3}{x} = 6 + 11x + 6x^2.$
当 $x \to 0$ 时，高阶项趋近于 $0$，故极限为：
$\lim _{x\rightarrow 0} (6 + 11x + 6x^2) = 6.$
符合题意，验证正确。