题目

设 4 维非零列向量组 I : _(1),(x)_(2),(x)_(3) 和向量组 II : _(1),(x)_(2),(x)_(3) ，且向量组 I 的任意向量均与 II 的任意向量正交，若_(1),(x)_(2),(x)_(3)线性无关则 r ( I ) + r ( II ) = _____

设 4 维非零列向量组 I :  和向量组 II :  ，且向量组 I 的任意向量均与 II 的任意向量正交，若线性无关则 r ( I ) + r ( II ) = _____

题目解答

答案

由线性无关可得向量组 I的秩为3，记A=（ ），则A是秩为3的34矩阵。

∵任意与任意正交，即=0

∴A=0，是齐次方程组Ax=0的解

∴r ( II )≤n-r ( A )=4-3=1

又∵为非零向量

∴r ( II )≥1，从而必有r ( II )=1

即 r ( I ) + r ( II ) = 4

解析

考查要点：本题主要考查向量组的秩、正交向量组的性质以及秩-零化度定理的应用。

解题核心思路：

  1. 确定向量组I的秩：由已知条件，向量组I中的三个向量线性无关，故其秩为3。
  2. 分析正交关系：向量组II中的任意向量与向量组I的任意向量正交，说明向量组II属于向量组I构成矩阵的左零空间。
  3. 利用秩-零化度定理：左零空间的维度为$4 - 3 = 1$，因此向量组II的秩不超过1，结合非零条件可得其秩为1。
  4. 求和：最终将两向量组的秩相加即可。

步骤1：确定向量组I的秩

向量组I中的三个向量$x_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，因此其秩为3，即：
$r(I) = 3$

步骤2：分析正交关系

设矩阵$A = (x_1, \alpha_2, \alpha_3)$，则$A$是$4 \times 3$矩阵，秩为3。向量组II中的任意向量$\beta_i$与向量组I的任意向量正交，即：
$A^T \beta_i = 0 \quad (i = 1, 2, 3, 4)$
因此，向量组II中的每个向量都是齐次方程组$A^T x = 0$的解，属于$A^T$的左零空间。

步骤3：计算左零空间的维度

根据秩-零化度定理，左零空间的维度为：
$n - r(A^T) = 4 - 3 = 1$
因此，向量组II的秩不超过1。

步骤4：确定向量组II的秩

由于向量组II是非零向量组，其秩至少为1，结合左零空间的维度限制，可得：
$r(II) = 1$

步骤5：求秩的和

最终：
$r(I) + r(II) = 3 + 1 = 4$