设函数-|||-f(x)-|||-在区间-|||-(1,2)-|||-内连续,-|||-https:/img.zuoyebang.cc/zyb_dcce33fedbb879f2f73d0d083995cc16.jpglt (x)_(1)lt (x)_(2)lt (x)_(3)lt 2,-|||-证明:至少存在一点-|||-xi in (1,2)-|||-使得-|||-(xi )=dfrac (1)(3)[ f((x)_(1))+f((x)_(2))+f((x)_(3))]

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理及其应用，需要理解连续函数在闭区间上的性质，特别是最大值和最小值的存在性，以及如何利用这些性质证明特定值的存在性。

解题核心思路：

1. 连续函数的最值性质：函数在闭区间上连续，则必有最大值和最小值。
2. 构造目标值：将三个点的函数值的平均值视为目标值，证明该值介于函数的最大值和最小值之间。
3. 介值定理的应用：根据介值定理，连续函数在闭区间上能取到介于最小值和最大值之间的任意值，从而存在对应的点满足条件。

破题关键点：

• 明确函数在闭区间上的连续性，确保最值存在。
• 通过不等式推导，证明目标值位于函数的最小值和最大值之间。
• 结合介值定理，直接得出结论。

步骤1：确定函数的最值
由于函数 $f(x)$ 在闭区间 $[1,2]$ 上连续（题目中隐含条件），根据连续函数的最值定理，存在最大值 $M = \max_{x \in [1,2]} f(x)$ 和最小值 $m = \min_{x \in [1,2]} f(x)$。

步骤2：构造目标值并分析范围
定义目标值：
$r = \frac{1}{3} \left[ f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \right]$
由于每个 $f(x_i)$ 满足 $m \leq f(x_i) \leq M$，可得：
$3m \leq f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) \leq 3M$
两边同时除以3，得：
$m \leq r \leq M$
即 $r$ 位于 $f(x)$ 的最小值和最大值之间。

步骤3：应用介值定理
根据介值定理，若 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，且 $r$ 满足 $m \leq r \leq M$，则存在至少一点 $\xi \in [1,2]$，使得 $f(\xi) = r$。
进一步分析：由于 $x_1, x_2, x_3 \in (1,2)$，若 $r$ 等于端点处的值，则必存在内部点 $\xi \in (1,2)$ 满足条件（否则矛盾）。因此 $\xi \in (1,2)$。