题目

5. (5.0分) 已知 P^-1AP=B,且 |B|≠0,则 (|A|)/(|B|) ___.

5. (5.0分) 已知 $P^{-1}AP=B$,且 |B|≠0,则 $\frac{|A|}{|B|}$ ___.

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用矩阵行列式的性质。具体来说，我们需要使用矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积这一事实，以及矩阵的逆的行列式是矩阵的行列式的倒数这一事实。 已知 $ P^{-1}AP = B $ 且 $ |B| \neq 0 $，我们需要找到 $ \frac{|A|}{|B|} $ 的值。 让我们从使用行列式的性质开始。矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积，所以我们可以写： \[ |P^{-1}AP| = |P^{-1}| \cdot |A| \cdot |P|. \] 我们还知道矩阵的逆的行列式是矩阵的行列式的倒数，所以 $ |P^{-1}| = \frac{1}{|P|} $。将这个代入方程，我们得到： \[ |P^{-1}AP| = \frac{1}{|P|} \cdot |A| \cdot |P|. \] $ |P| $ 项相互抵消，所以： \[ |P^{-1}AP| = |A|. \] 由于 $ P^{-1}AP = B $，我们可以用 $ |B| $ 替换 $ |P^{-1}AP| $： \[ |B| = |A|. \] 现在，我们需要找到 $ \frac{|A|}{|B|} $。由于 $ |A| = |B| $，我们有： \[ \frac{|A|}{|B|} = \frac{|B|}{|B|} = 1. \] 因此，答案是： \[ \boxed{1}. \]

解析

考查要点：本题主要考查矩阵行列式的性质，特别是矩阵乘积的行列式性质以及逆矩阵的行列式性质。

解题核心思路：
利用行列式的性质，将等式 $P^{-1}AP = B$ 两边取行列式，通过行列式的乘积性质和逆矩阵的行列式性质，推导出 $|A|$ 与 $|B|$ 的关系。

破题关键点：

  1. 行列式的乘积性质：$|ABC| = |A||B||C|$。
  2. 逆矩阵的行列式性质：$|P^{-1}| = \frac{1}{|P|}$。
  3. 通过代数运算消去公共因子 $|P|$，直接得到 $|A| = |B|$。

  1. 对等式两边取行列式：
    已知 $P^{-1}AP = B$，两边取行列式得：
    $|P^{-1}AP| = |B|.$

  2. 应用行列式的乘积性质：
    根据行列式的性质，左边可展开为：
    $|P^{-1}| \cdot |A| \cdot |P|.$

  3. 代入逆矩阵的行列式性质：
    由 $|P^{-1}| = \frac{1}{|P|}$，代入后左边变为：
    $\frac{1}{|P|} \cdot |A| \cdot |P| = |A|.$

  4. 建立等式关系：
    因此有 $|A| = |B|$，从而：
    $\frac{|A|}{|B|} = \frac{|B|}{|B|} = 1.$