计算(int )_(-sqrt {2)}^sqrt (2)sqrt (8-2{y)^2}dy-|||-__

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角换元法处理二次根式积分，以及应用二倍角公式简化积分表达式的能力。

解题核心思路：

1. 观察被积函数形式：被积函数为$\sqrt{8-2y^2}$，属于$\sqrt{a^2 - y^2}$的变形，适合用三角换元法。
2. 换元简化积分：通过令$y = 2\sin u$，将根号内表达式转化为关于$\cos u$的表达式，简化积分。
3. 应用二倍角公式：将$\cos^2 u$转化为$1+\cos 2u$，进一步简化积分运算。
4. 对称性简化计算：利用积分区间的对称性（关于原点对称），结合被积函数的奇偶性，可简化计算步骤（本题未直接使用，但需注意）。

破题关键点：

• 正确选择换元变量，确保换元后积分表达式可简化。
• 准确处理积分上下限，避免因变量替换导致的计算错误。
• 熟练应用三角恒等式，如二倍角公式，将复杂积分转化为基本积分形式。

步骤1：整理被积函数
原积分可变形为：
$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{8-2y^2} \, dy = \sqrt{2} \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{4 - y^2} \, dy$

步骤2：三角换元
令$y = 2\sin u$，则$dy = 2\cos u \, du$，且当$y = \sqrt{2}$时，$\sin u = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，即$u = \dfrac{\pi}{4}$；同理，$y = -\sqrt{2}$对应$u = -\dfrac{\pi}{4}$。代入后积分变为：
$\sqrt{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sqrt{4 - 4\sin^2 u} \cdot 2\cos u \, du = 4\sqrt{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^2 u \, du$

步骤3：应用二倍角公式
利用$\cos^2 u = \dfrac{1 + \cos 2u}{2}$，积分化简为：
$4\sqrt{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{1 + \cos 2u}{2} \, du = 2\sqrt{2} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (1 + \cos 2u) \, du$

步骤4：分项积分
分别计算$\int 1 \, du$和$\int \cos 2u \, du$：
$2\sqrt{2} \left[ \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 1 \, du + \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos 2u \, du \right]$

步骤5：代入上下限
计算得：
$2\sqrt{2} \left[ \left. u \right|_{-\pi/4}^{\pi/4} + \left. \frac{1}{2}\sin 2u \right|_{-\pi/4}^{\pi/4} \right] = 2\sqrt{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \left( \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \right]$

步骤6：化简结果
最终结果为：
$2\sqrt{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \sqrt{2} (\pi + 2)$