题目

18.(本题满分12分)已知函数g(x)连续，f(x)=int_(0)^x^(2)g(xt)dt，求f'(x)的表达式，并判断f'(x)在x=0处的连续性.

18.(本题满分12分) 已知函数g(x)连续，$f(x)=\int_{0}^{x^{2}}g(xt)dt$，求f'(x)的表达式，并判断f'(x)在x=0处的连续性.

题目解答

答案

设 $ f(x) = \int_{0}^{x^2} g(xt) \, dt $，令 $ u = xt $，则 $ du = x \, dt $，当 $ t = 0 $ 时，$ u = 0 $，当 $ t = x^2 $ 时，$ u = x^3 $。
于是，
$f(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x^3} g(u) \, du.$
对 $ x \neq 0 $，求导得
$f'(x) = 3x g(x^3) - \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x^3} g(u) \, du.$
对于 $ x = 0 $，由定义
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \int_{0}^{h^3} g(u) \, du = 0.$
由于
$\lim_{x \to 0} f'(x) = 0 = f'(0),$
故 $ f'(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续。

答案：
$\boxed{\begin{array}{ll}f'(x) = 3x g(x^3) - \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x^3} g(u) \, du, & x \neq 0, \\f'(0) = 0,\end{array}}$
且 $ f'(x) $ 在 $ x = 0 $ 处连续。

解析

本题主要考查变上限积分求导以及函数在某点处连续性的判断。解题思路如下：

  1. 首先通过换元法将被积函数中的变量 $x$ 从积分变量 $t$ 的系数位置分离出来，以便后续求导。
  2. 对于 $x\neq0$ 的情况，利用变上限积分求导法则对换元后的函数求导。
  3. 对于 $x = 0$ 的情况，根据导数的定义求出 $f^\prime(0)$。
  4. 最后判断 $\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)$ 是否等于 $f^\prime(0)$，以此来确定 $f^\prime(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性。

具体解析过程

  1. 换元化简函数 $f(x)$
    已知 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}g(xt)dt$，令 $u = xt$，则 $du = xdt$。
    当 $t = 0$ 时，$u = 0\times x = 0$；当 $t = x^2$ 时，$u = x\times x^2 = x^3$。
    此时 $dt=\frac{1}{x}du$，那么 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}g(xt)dt=\frac{1}{x}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du$（$x\neq0$）。
  2. 求 $x\neq0$ 时 $f^\prime(x)$ 的表达式
    根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，对于 $f(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du$，令 $u=\frac{1}{x}$，$v = \int_{0}^{x^{3}}g(u)du$。
    • 对 $u=\frac{1}{x}=x^{-1}$ 求导，根据求导公式 $(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得 $u^\prime = -x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$。
    • 对 $v = \int_{0}^{x^{3}}g(u)du$ 求导，根据变上限积分求导法则，若 $F(x)=\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt$，则 $F^\prime(x)=f(\varphi(x))\varphi^\prime(x)$，这里 $\varphi(x)=x^3$，$f(u)=g(u)$，所以 $v^\prime = g(x^3)\cdot 3x^2$。
    • 则 $f^\prime(x)=u^\prime v + uv^\prime=-\frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du+\frac{1}{x}\cdot 3x^2g(x^3)=3x g(x^3) - \frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du$（$x\neq0$）。
  3. 求 $x = 0$ 时 $f^\prime(0)$ 的值
    根据导数的定义 $f^\prime(0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$，因为 $f(0)=\int_{0}^{0}g(xt)dt = 0$，所以 $f^\prime(0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$。
    又因为 $f(h)=\frac{1}{h}\int_{0}^{h^{3}}g(u)du$，所以 $f^\prime(0)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h^2}\int_{0}^{h^{3}}g(u)du$。
    利用洛必达法则，对分子分母分别求导，分子求导为 $g(h^3)\cdot 3h^2$，分母求导为 $2h$，则 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h^2}\int_{0}^{h^{3}}g(u)du=\lim\limits_{h \to 0} \frac{3h^2g(h^3)}{2h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{3}{2}hg(h^3)$。
    因为 $g(x)$ 连续，所以 $\lim\limits_{h \to 0}g(h^3)=g(0)$，则 $\lim\limits_{h \to 0} \frac{3}{2}hg(h^3)=0$，即 $f^\prime(0)=0$。
  4. 判断 $f^\prime(x)$ 在 $x = 0$ 处的连续性
    求 $\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)$，$\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)=\lim\limits_{x \to 0}(3x g(x^3) - \frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du)$。
    同样利用洛必达法则求 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du$，分子求导为 $g(x^3)\cdot 3x^2$，分母求导为 $2x$，则 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du=\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x^2g(x^3)}{2x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{3}{2}xg(x^3)=0$。
    所以 $\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)=\lim\limits_{x \to 0}3x g(x^3)-\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^{3}}g(u)du=0 - 0 = 0$。
    因为 $\lim\limits_{x \to 0} f^\prime(x)=0 = f^\prime(0)$，所以 $f^\prime(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。