题目
5.设A=}1&1&22&2&43&3&6，求一个秩为2的三阶方阵B，使得AB=0.
5.设$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\2&2&4\\3&3&6\end{pmatrix}$，求一个秩为2的三阶方阵B，使得AB=0.
题目解答
答案
对矩阵 $ A $ 进行行简化得：
\[ A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
解得齐次方程 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 的通解为：
\[ \mathbf{x} = x_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
取基础解系向量作为 $ B $ 的列，且确保秩为2，可得：
\[ B = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]
**答案：**
\[
\boxed{\begin{pmatrix} -1 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}
\]
（注：第三列可为任意向量，但应保持 $ B $ 的秩为2。）
解析
步骤 1：行简化矩阵 $A$
对矩阵 $A$ 进行行简化，得到阶梯形矩阵。
步骤 2：求解齐次方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$
根据行简化后的矩阵，求解齐次方程的通解。
步骤 3：构造矩阵 $B$
根据齐次方程的通解，构造一个秩为2的三阶方阵 $B$，使得 $AB=0$。
对矩阵 $A$ 进行行简化，得到阶梯形矩阵。
步骤 2：求解齐次方程 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$
根据行简化后的矩阵，求解齐次方程的通解。
步骤 3：构造矩阵 $B$
根据齐次方程的通解，构造一个秩为2的三阶方阵 $B$，使得 $AB=0$。