题目
计算二重积分iint (e)^-(y^2)dxdy,其中D是由直线x=0,y=1,y=x所围成的区域.
计算二重积分
,其中D是由直线x=0,y=1,y=x所围成的区域.
题目解答
答案
积分区域D如图10-2-11所示,则D有两种表示:
或
.
若按第一种表示来计算,则
由于
的原函数不能用初等函数表示,因此
无法计算.下面按照D的第二张表示来计算: 
解析
步骤 1：确定积分区域D
积分区域D是由直线x=0,y=1,y=x所围成的区域。因此，D有两种表示方式：
$D=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant 1,x\leqslant y\leqslant 1\}$或$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant 1,0\leqslant x\leqslant y\}$.
步骤 2：选择合适的积分顺序
若按第一种表示来计算，即先对y积分再对x积分，则$\overset{D}{\iint }e^{-y^{2}}dxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{x}^{1}e^{-y^{2}}dy$，由于$e^{-y^{2}}$的原函数不能用初等函数表示，因此$\int _{x}^{1}e^{-y^{2}}dy$无法计算。因此，选择第二种表示方式，即先对x积分再对y积分。
步骤 3：计算二重积分
$\overset{D}{\iint }e^{-y^{2}}dxdy=\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{y}e^{-y^{2}}dx$，由于$e^{-y^{2}}$是关于x的常数，因此$\int _{0}^{y}e^{-y^{2}}dx=y\cdot e^{-y^{2}}$。因此，$\overset{D}{\iint }e^{-y^{2}}dxdy=\int _{0}^{1}y\cdot e^{-y^{2}}dy$。令$u=-y^{2}$，则$du=-2ydy$，因此$\int _{0}^{1}y\cdot e^{-y^{2}}dy=-\frac{1}{2}\int _{0}^{1}e^{u}du=-\frac{1}{2}e^{u}|_{0}^{1}=-\frac{1}{2}e^{-y^{2}}|_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}$。
积分区域D是由直线x=0,y=1,y=x所围成的区域。因此，D有两种表示方式：
$D=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant 1,x\leqslant y\leqslant 1\}$或$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant 1,0\leqslant x\leqslant y\}$.
步骤 2：选择合适的积分顺序
若按第一种表示来计算，即先对y积分再对x积分，则$\overset{D}{\iint }e^{-y^{2}}dxdy=\int _{0}^{1}dx\int _{x}^{1}e^{-y^{2}}dy$，由于$e^{-y^{2}}$的原函数不能用初等函数表示，因此$\int _{x}^{1}e^{-y^{2}}dy$无法计算。因此，选择第二种表示方式，即先对x积分再对y积分。
步骤 3：计算二重积分
$\overset{D}{\iint }e^{-y^{2}}dxdy=\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{y}e^{-y^{2}}dx$，由于$e^{-y^{2}}$是关于x的常数，因此$\int _{0}^{y}e^{-y^{2}}dx=y\cdot e^{-y^{2}}$。因此，$\overset{D}{\iint }e^{-y^{2}}dxdy=\int _{0}^{1}y\cdot e^{-y^{2}}dy$。令$u=-y^{2}$，则$du=-2ydy$，因此$\int _{0}^{1}y\cdot e^{-y^{2}}dy=-\frac{1}{2}\int _{0}^{1}e^{u}du=-\frac{1}{2}e^{u}|_{0}^{1}=-\frac{1}{2}e^{-y^{2}}|_{0}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2e}$。