(7)若f(x)连续，且f(x)+2int_(0)^xf(t)dt=x^2，求f(x)。

本题主要考察利用积分上限函数与微分方程结合求解函数$f(x)$，核心思路如下：

步骤1：转化积分方程为微分方程

已知$f(x)$连续，设$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$，则$F'(x)=f(x)$（积分上限函数的导数），且$F(0)=0$（积分上限为0时积分值为0）。
原方程$f(x)+2\int_{0}^{x}f(t)dt=x^2$可改写为：
$F'(x) + 2F(x) = x^2$
这是一阶线性非齐次微分方程，形式为$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=2$，$Q(x)=x^2$。

步骤2：求解一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的通解公式为$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dxx)+C\right)$，此处用积分因子法更直观：
积分因子$\mu(x)=e^{\int 2dx}=e^{2x}$，两边同乘$\mu(x)$：
$e^{2x}F'(x) + 2e^{2x}F(x) = x^2e^{2x}$
左边是导数的形式：$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}F(x)\right)=x^2e^{2x}$。

步骤3：计算积分$\int x^2e^{2x}dx$（分部积分）

分部积分公式：$\int udv=uv-\int vdu$，两次分部积分：

• 第一次：令$u=x^2$，$dv=e^{2x}dx$，则$du=2xdx$，$v=\frac{1}{2}e^{2x}$
  $\int x^2e^{2x}dx=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\int xe^{2x}dx$
• 第二次：令$u=x$，$dv=e^{2x}dx$，则$du=dx$，$v=\frac{1}{2}e^{2x}$
  $\int xe^{2x}dx=\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}$
  代入得：
  $\int x^2e^{2x}dx=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C$

步骤4：求$F(x)$并确定常数$C$

由$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}F(x)\right)=x^2e^{2x}$积分得：
$e^{2x}F(x)=\frac{1}{2}x^2e^{2x}-\frac{1众筹到98元，只差您的2元就可继续买笔和创作啦~~~100：\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C$
两边同乘$e^{-2x}$：
$F(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+Ce^{-2x}$
由$F(0)=0$，代入$x=0$：$0=\frac{1}{4}+C\Rightarrow C=-\frac{1}{4}$，故：
$F(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}e^{-2x}$

步骤5：求$f(x)=F'(x)$

对$F(x)$求导：
$f(x)=F'(x)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-2x}$