设Omega是由球面x^2+y^2+z^2=1及三个坐标面所围成的第一卦限内的闭区域，则三重积分iiint_(Omega)xyz,dx dy dz = ( )。 A. (1)/(12)B. (1)/(24)C. (1)/(48)D. (1)/(96)

为了求解三重积分 $\iiint\limits_{\Omega} xyz \, dx \, dy \, dz$，其中 $\Omega$ 是由球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 及三个坐标面所围成的第一卦限内的闭区域，我们可以使用球坐标系。在球坐标系中，变量 $x$、$y$ 和 $z$ 可以表示为： \[ x = \rho \sin \phi \cos \theta, \] \[ y = \rho \sin \phi \sin \theta, \] \[ z = \rho \cos \phi, \] 其中 $\rho$ 是径向距离，$\phi$ 是极角，$\theta$ 是方位角。在第一卦限内，$\rho$ 的范围是 $0$ 到 $1$，$\phi$ 的范围是 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，$\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。球坐标系中的体积元素 $dx \, dy \, dz$ 可以表示为： \[ dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta. \] 将 $x$、$y$、$z$ 和体积元素代入三重积分，我们得到： \[ \iiint\limits_{\Omega} xyz \, dx \, dy \, dz = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 (\rho \sin \phi \cos \theta)(\rho \sin \phi \sin \theta)(\rho \cos \phi) \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta. \] 简化被积函数，我们有： \[ \iiint\limits_{\Omega} xyz \, dx \, dy \, dz = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \rho^5 \sin^3 \phi \cos \phi \cos \theta \sin \theta \, d\rho \, d\phi \, d\theta. \] 我们可以将这个三重积分分解为三个单积分： \[ \iiint\limits_{\Omega} xyz \, dx \, dy \, dz = \left( \int_0^1 \rho^5 \, d\rho \right) \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \cos \phi \, d\phi \right) \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta \right). \] 首先计算 $\int_0^1 \rho^5 \, d\rho$： \[ \int_0^1 \rho^5 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^6}{6} \right]_0^1 = \frac{1}{6}. \] 接下来计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \cos \phi \, d\phi$。令 $u = \sin \phi$，则 $du = \cos \phi \, d\phi$，当 $\phi = 0$ 时 $u = 0$，当 $\phi = \frac{\pi}{2}$ 时 $u = 1$。因此，积分变为： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 \phi \cos \phi \, d\phi = \int_0^1 u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}. \] 最后计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta$。令 $v = \sin \theta$，则 $dv = \cos \theta \, d\theta$，当 $\theta = 0$ 时 $v = 0$，当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时 $v = 1$。因此，积分变为： \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = \int_0^1 v \, dv = \left[ \frac{v^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}. \] 将这三个结果相乘，我们得到： \[ \iiint\limits_{\Omega} xyz \, dx \, dy \, dz = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{48}. \] 因此，正确答案是 $\boxed{\frac{1}{48}}$。所以选择 $\boxed{C}$。