题目
7.试问下列命题是否成立?-|||-(1) -(B-C)=(A-B)-C;-|||-(2)若 =Q 且CCA,则 =varnothing ;-|||-(3) (Acup B)-B=A;-|||-(4) (A-B)cup B=A.
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析命题 (1)
$A-(B-C)$ 表示从集合 $A$ 中去掉集合 $B-C$ 的元素，而 $(A-B)-C$ 表示先从集合 $A$ 中去掉集合 $B$ 的元素，再从结果中去掉集合 $C$ 的元素。这两个表达式不一定相等，因为 $B-C$ 可能包含不在 $B$ 中的元素，而这些元素在 $(A-B)-C$ 中不会被去掉。因此，命题 (1) 不成立。
步骤 2：分析命题 (2)
若 $A \cap B = \varnothing$ 且 $C \subseteq A$，则 $B \cap C = \varnothing$。因为 $A \cap B = \varnothing$ 表示集合 $A$ 和集合 $B$ 没有公共元素，而 $C \subseteq A$ 表示集合 $C$ 是集合 $A$ 的子集，所以集合 $C$ 和集合 $B$ 也没有公共元素。因此，命题 (2) 成立。
步骤 3：分析命题 (3)
$(A \cup B) - B$ 表示从集合 $A \cup B$ 中去掉集合 $B$ 的元素，结果是集合 $A$ 中不在集合 $B$ 中的元素。因此，$(A \cup B) - B$ 不一定等于 $A$，因为 $A$ 中可能包含在 $B$ 中的元素。因此，命题 (3) 不成立。
步骤 4：分析命题 (4)
$(A - B) \cup B$ 表示从集合 $A$ 中去掉集合 $B$ 的元素，再将结果与集合 $B$ 合并。结果是集合 $A$ 中不在集合 $B$ 中的元素与集合 $B$ 的并集，这不一定等于 $A$，因为 $A$ 中可能包含在 $B$ 中的元素。因此，命题 (4) 不成立。
$A-(B-C)$ 表示从集合 $A$ 中去掉集合 $B-C$ 的元素，而 $(A-B)-C$ 表示先从集合 $A$ 中去掉集合 $B$ 的元素，再从结果中去掉集合 $C$ 的元素。这两个表达式不一定相等，因为 $B-C$ 可能包含不在 $B$ 中的元素，而这些元素在 $(A-B)-C$ 中不会被去掉。因此，命题 (1) 不成立。
步骤 2：分析命题 (2)
若 $A \cap B = \varnothing$ 且 $C \subseteq A$，则 $B \cap C = \varnothing$。因为 $A \cap B = \varnothing$ 表示集合 $A$ 和集合 $B$ 没有公共元素，而 $C \subseteq A$ 表示集合 $C$ 是集合 $A$ 的子集，所以集合 $C$ 和集合 $B$ 也没有公共元素。因此，命题 (2) 成立。
步骤 3：分析命题 (3)
$(A \cup B) - B$ 表示从集合 $A \cup B$ 中去掉集合 $B$ 的元素，结果是集合 $A$ 中不在集合 $B$ 中的元素。因此，$(A \cup B) - B$ 不一定等于 $A$，因为 $A$ 中可能包含在 $B$ 中的元素。因此，命题 (3) 不成立。
步骤 4：分析命题 (4)
$(A - B) \cup B$ 表示从集合 $A$ 中去掉集合 $B$ 的元素，再将结果与集合 $B$ 合并。结果是集合 $A$ 中不在集合 $B$ 中的元素与集合 $B$ 的并集，这不一定等于 $A$，因为 $A$ 中可能包含在 $B$ 中的元素。因此，命题 (4) 不成立。