题目
由曲线y=x2+1，直线y=-x+3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为 ____ ．
由曲线y=x2+1，直线y=-x+3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为 ____ ．
题目解答
答案
解：根据题意，画出如图所示的图形，所围图形就是图中的阴影区域，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，所以图中交点A的坐标为（1，2），
S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}+1）dx+{∫}_{1}^{3}（-x+3）dx=[\frac{1}{3}{x}^{3}+x]\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.+[-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x]\left.\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}\right.$=$\frac{1}{3}+1+（-\frac{9}{2}+9）-（-\frac{1}{2}+3）=\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=5}\end{array}\right.$，所以图中交点A的坐标为（1，2），
S=${∫}_{0}^{1}（{x}^{2}+1）dx+{∫}_{1}^{3}（-x+3）dx=[\frac{1}{3}{x}^{3}+x]\left.\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}\right.+[-\frac{1}{2}{x}^{2}+3x]\left.\begin{array}{l}{3}\\{1}\end{array}\right.$=$\frac{1}{3}+1+（-\frac{9}{2}+9）-（-\frac{1}{2}+3）=\frac{10}{3}$，
故答案为：$\frac{10}{3}$．
解析
步骤 1：确定交点
联立曲线方程$y=x^{2}+1$和直线方程$y=-x+3$，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，得到交点坐标。
步骤 2：计算积分
根据交点坐标，确定积分区间，分别计算曲线$y=x^{2}+1$和直线$y=-x+3$在相应区间上的定积分。
步骤 3：求和
将两个定积分的结果相加，得到所求图形的面积。
联立曲线方程$y=x^{2}+1$和直线方程$y=-x+3$，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，得到交点坐标。
步骤 2：计算积分
根据交点坐标，确定积分区间，分别计算曲线$y=x^{2}+1$和直线$y=-x+3$在相应区间上的定积分。
步骤 3：求和
将两个定积分的结果相加，得到所求图形的面积。