4.设f^prime(x)=(x-1)(2x+1),xin(-infty,+infty)，则在((1)/(2),1)内，f(x)单调A. 增加，曲线y=f(x)为凹的B. 减少，曲线y=f(x)为凹的C. 增加，曲线y=f(x)为凸的D. 减少，曲线y=f(x)为凸的

考查要点：本题主要考查利用导数判断函数的单调性和凹凸性。
解题思路：

1. 单调性：通过一阶导数$f'(x)$的符号判断。若$f'(x) < 0$，则函数在该区间单调递减；若$f'(x) > 0$，则单调递增。
2. 凹凸性：通过二阶导数$f''(x)$的符号判断。若$f''(x) > 0$，曲线为凹；若$f''(x) < 0$，曲线为凸。
   关键点：

• 分解一阶导数的符号：在区间$\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$内，分析$(x-1)$和$(2x+1)$的符号。
• 计算二阶导数：通过乘积法则求导，确定$f''(x)$的表达式，并判断其符号。

单调性分析

1. 分解因子符号：
   • 在$\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$内，$x < 1$，故$x-1 < 0$。
   • $x > \frac{1}{2}$，故$2x+1 > 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 > 0$。
2. 确定$f'(x)$的符号：
   $f'(x) = (x-1)(2x+1)$为负数乘正数，结果为负，即$f'(x) < 0$。
   结论：函数$f(x)$在区间内单调递减。

凹凸性分析

1. 求二阶导数：
   $f''(x) = \frac{d}{dx}[(x-1)(2x+1)] = (1)(2x+1) + (x-1)(2) = 4x - 1.$
2. 判断符号：
   在$\left( \frac{1}{2}, 1 \right)$内，$x > \frac{1}{2}$，故$4x - 1 > 4 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 > 0$。
   结论：曲线$y=f(x)$在区间内为凹。