2.一直线过点M(1,2,1),垂直于直线 _(1):dfrac (x-1)(3)=dfrac (y)(2)=dfrac (z+1)(1), 且和直线 _(2):dfrac (x)(2)=y=dfrac (z)(-1) 相交,求该直-|||-线方程.

考查要点：本题主要考查空间直线的方程求解，涉及直线的垂直关系、点向式方程、参数方程的应用，以及两直线相交的条件。

解题核心思路：

1. 确定所求直线的方向向量：利用与已知直线L1垂直的条件，即方向向量的点积为0。
2. 利用相交条件确定参数：通过设定所求直线与L2的交点参数，建立方程求解参数值。
3. 构造直线方程：结合已知点和方向向量，写出最终方程。

破题关键点：

• 参数化L2上的交点：将L2用参数t表示，得到交点坐标。
• 向量点积为零：通过向量MA与L1的方向向量垂直的条件，解出参数t。
• 简化方向向量：将向量MA标准化为最简形式，得到方向向量。

步骤1：参数化L2上的交点

设所求直线与L2的交点为$A(2t, t, -t)$（由L2的参数方程$x=2t$, $y=t$, $z=-t$得出）。

步骤2：计算向量$\overrightarrow{MA}$

向量$\overrightarrow{MA} = (2t-1, t-2, -t-1)$。

步骤3：垂直条件列方程

L1的方向向量为$\mathbf{n} = (3, 2, 1)$，根据垂直条件：
$\overrightarrow{MA} \cdot \mathbf{n} = 3(2t-1) + 2(t-2) + 1(-t-1) = 0$

步骤4：解方程求t

展开并整理方程：
$6t - 3 + 2t - 4 - t - 1 = 0 \implies 7t - 8 = 0 \implies t = \dfrac{8}{7}$

步骤5：确定方向向量

将$t = \dfrac{8}{7}$代入$\overrightarrow{MA}$：
$\overrightarrow{MA} = \left( \dfrac{9}{7}, -\dfrac{6}{7}, -\dfrac{15}{7} \right) = \dfrac{3}{7}(3, -2, -5)$
因此，方向向量为$(3, -2, -5)$。

步骤6：写出直线方程

以点$M(1,2,1)$为起点，方向向量为$(3, -2, -5)$，方程为：
$\dfrac{x-1}{3} = \dfrac{y-2}{-2} = \dfrac{z-1}{-5}$