题目

求下列极限lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-x)(x-sin x)。

求下列极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ 。

题目解答

答案

由题可知，所给的已知条件为函数 $f\left(x\right)=\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ，以及题目所求为极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ，由此可知本题需要利用常用等价无穷小公式的基本性质和运算法则来对本题目进行分析计算。

当自变量无限趋近于无穷小量即 $x\rightarrow0$ 时，有常用等价无穷小公式分别为：

$x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^3$ ；

$\tan x-x\sim\frac{1}{3}x^3$ 。

因此，极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{3}x^3}{\frac{1}{6}x^3}$

$=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=2$ 。

综上所述，极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}=2$ .

解析

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换在求极限中的应用，以及对常见函数泰勒展开式的理解。

解题核心思路：当$x \rightarrow 0$时，分子$\tan x - x$和分母$x - \sin x$均趋近于0，形成$\frac{0}{0}$型不定式。此时，利用等价无穷小的高阶项展开，将分子和分母分别近似为同阶无穷小，从而简化极限计算。

破题关键点：

识别分子和分母的等价无穷小形式：$\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3$，$x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3$。
约去相同阶数的无穷小项，直接计算系数比值。

步骤1：展开分子和分母的泰勒多项式

$\tan x$的泰勒展开式为：
$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$
因此，分子$\tan x - x$的高阶项为：
$\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3.$
$\sin x$的泰勒展开式为：
$\sin x = x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \cdots$
因此，分母$x - \sin x$的高阶项为：
$x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3.$

步骤2：代入等价无穷小并化简

将分子和分母的等价无穷小代入原式：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^3}{\frac{1}{6}x^3} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}} = 2.$