11．盒子里有 10 个球，分别标有从 1 到 10 的标号，任选 3 球，记录其号码，求：(1) 最小号码为 5 的概率；(2) 最大号码为 5 的概率．

考查要点：本题主要考查组合概率的计算，涉及最小值和最大值的条件概率问题。关键在于正确确定符合条件的组合数。

解题思路：

1. 最小号码为5：要求三个球中必须包含5，且另外两个球的号码均大于5。此时，符合条件的组合数为从6-10中选2个球的组合数。
2. 最大号码为5：要求三个球的号码均不超过5，且至少包含一个5。此时，符合条件的组合数为从1-5中选3个球的组合数减去从1-4中选3个球的组合数（排除不含5的情况）。

破题关键：明确最小值或最大值的条件限制，通过组合数的差集或交集确定有效事件数。

第（1）题：最小号码为5的概率

确定有效组合数

• 若最小号码为5，则三个球中必须包含5，且另外两个球的号码均大于5。
• 大于5的号码有6,7,8,9,10，共5个数，需从中选2个，组合数为 $\mathrm{C}_5^2$。

计算概率

• 总组合数为 $\mathrm{C}_{10}^3$。
• 概率为 $\dfrac{\mathrm{C}_5^2}{\mathrm{C}_{10}^3} = \dfrac{10}{120} = \dfrac{1}{12}$。

第（2）题：最大号码为5的概率

确定有效组合数

• 若最大号码为5，则三个球的号码均不超过5，且至少包含一个5。
• 从1-5中选3个球的组合数为 $\mathrm{C}_5^3$，其中包含所有号码≤5的情况。
• 需排除三个球均≤4的情况，其组合数为 $\mathrm{C}_4^3$。
• 有效组合数为 $\mathrm{C}_5^3 - \mathrm{C}_4^3$。

计算概率

• 总组合数仍为 $\mathrm{C}_{10}^3$。
• 概率为 $\dfrac{\mathrm{C}_5^3 - \mathrm{C}_4^3}{\mathrm{C}_{10}^3} = \dfrac{10 - 4}{120} = \dfrac{6}{120} = \dfrac{1}{20}$。