题目
例12 证明方程 cdot (2)^x=1 至少有一个小于1 的正实根.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x)=x\cdot {2}^{x}-1$，该函数在实数集 R 上是连续的。
步骤 2：计算函数在 x=0 时的值
计算 $f(0)=0\cdot {2}^{0}-1=-1$，因此 $f(0)<0$。
步骤 3：计算函数在 x=1 时的值
计算 $f(1)=1\cdot {2}^{1}-1=1$，因此 $f(1)>0$。
步骤 4：应用零点定理
由于 $f(0)<0$ 且 $f(1)>0$，根据零点定理，函数 $f(x)$ 在区间 (0,1) 内至少有一个零点，即存在一个 $x_0\in(0,1)$ 使得 $f(x_0)=0$。
步骤 5：结论
因此，方程 $x\cdot {2}^{x}=1$ 至少有一个小于1的正实根。
定义函数 $f(x)=x\cdot {2}^{x}-1$，该函数在实数集 R 上是连续的。
步骤 2：计算函数在 x=0 时的值
计算 $f(0)=0\cdot {2}^{0}-1=-1$，因此 $f(0)<0$。
步骤 3：计算函数在 x=1 时的值
计算 $f(1)=1\cdot {2}^{1}-1=1$，因此 $f(1)>0$。
步骤 4：应用零点定理
由于 $f(0)<0$ 且 $f(1)>0$，根据零点定理，函数 $f(x)$ 在区间 (0,1) 内至少有一个零点，即存在一个 $x_0\in(0,1)$ 使得 $f(x_0)=0$。
步骤 5：结论
因此，方程 $x\cdot {2}^{x}=1$ 至少有一个小于1的正实根。