例12 证明方程 cdot (2)^x=1 至少有一个小于1 的正实根.

考查要点：本题主要考查连续函数的介值定理（中间值定理）的应用，通过构造适当的函数，利用函数在区间端点的符号变化证明方程根的存在性。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为$f(x) = x \cdot 2^x - 1$的形式，寻找$f(x)=0$的解。
2. 验证连续性：确认$f(x)$在区间$[0,1]$上连续。
3. 计算端点函数值：通过$f(0)$和$f(1)$的符号变化，结合介值定理，证明存在零点。

破题关键点：

• 正确选择区间：题目要求“小于1的正实根”，因此选择区间$(0,1)$。
• 准确计算端点值：确保$f(0) < 0$和$f(1) > 0$，从而满足介值定理的条件。

步骤1：构造函数
定义函数$f(x) = x \cdot 2^x - 1$，原方程$x \cdot 2^x = 1$等价于$f(x) = 0$。

步骤2：验证连续性

• $2^x$是指数函数，在$\mathbb{R}$上连续。
• $x$是多项式函数，在$\mathbb{R}$上连续。
• 因此，$f(x) = x \cdot 2^x - 1$在$\mathbb{R}$上连续，特别地，在区间$[0,1]$上连续。

步骤3：计算端点函数值

• 当$x = 0$时：
  $f(0) = 0 \cdot 2^0 - 1 = 0 \cdot 1 - 1 = -1 < 0$
• 当$x = 1$时：
  $f(1) = 1 \cdot 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$

步骤4：应用介值定理
由于$f(0) \cdot f(1) = (-1) \cdot 1 = -1 < 0$，且$f(x)$在$[0,1]$上连续，根据介值定理，在区间$(0,1)$内至少存在一个零点$c$，即存在$c \in (0,1)$使得$f(c) = 0$。因此，方程$x \cdot 2^x = 1$在$(0,1)$内至少有一个正实根。