函数 =x(y)^2 在点(1,2)沿 a=(1,1) 方向的方向导数为 __

步骤 1：计算函数 $z=x{y}^{2}$ 在点 (1,2) 的偏导数
首先，我们需要计算函数 $z=x{y}^{2}$ 在点 (1,2) 的偏导数。偏导数表示函数在某一点沿某一个变量方向的变化率。对于函数 $z=x{y}^{2}$，我们分别计算关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
- 关于 $x$ 的偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = y^2$
- 关于 $y$ 的偏导数：$\frac{\partial z}{\partial y} = 2xy$

步骤 2：计算方向导数
方向导数表示函数在某一点沿某个方向的变化率。给定方向 $\vec{a}=(1,1)$，我们需要计算函数在点 (1,2) 沿这个方向的方向导数。方向导数的计算公式为：
\[D_{\vec{a}}z = \nabla z \cdot \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\]
其中，$\nabla z$ 是函数 $z$ 的梯度，$\vec{a}$ 是给定的方向，$|\vec{a}|$ 是方向 $\vec{a}$ 的模长。首先，计算梯度 $\nabla z$：
\[\nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) = (y^2, 2xy)\]
在点 (1,2) 处，梯度为：
\[\nabla z(1,2) = (2^2, 2 \cdot 1 \cdot 2) = (4, 4)\]
方向 $\vec{a}=(1,1)$ 的模长为：
\[|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]
因此，方向导数为：
\[D_{\vec{a}}z = (4, 4) \cdot \frac{(1,1)}{\sqrt{2}} = \frac{4+4}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}\]