题目
设f(x)在f(x)上连续f(x)内可导,且f(x)证明:(1)至少存在一点f(x)使得f(x)(2)至少存在一点f(x)使得f(x)
设
在
上连续
内可导,且
证明:
(1)至少存在一点
使得
(2)至少存在一点
使得
题目解答
答案
本题连续函数介值定理考查罗尔定理的应用
(1)令
则
则
由介值定理，
内存在
使
即
(2)令
令
由(1)知则
根据罗尔定理，
内存在
使
所以
解析
步骤 1：应用介值定理证明存在性
令$g(x)=f(x)-1$，则$g(0)=f(0)-1=-1$，$g(1)=f(1)-1=1$。由于$g(x)$在$[0,1]$上连续，根据介值定理，至少存在一点$n\in (0,1)$，使得$g(n)=0$，即$f(n)=1$。
步骤 2：构造辅助函数并应用罗尔定理
令$F(x)=e^{-x}f(x)$，则$F(0)=e^{-0}f(0)=0$，$F(1)=e^{-1}f(1)=2e^{-1}$，$F(2)=e^{-2}f(2)=e^{-2}$。由于$F(x)$在$[0,2]$上连续，在$(0,2)$内可导，且$F(0)=0$，$F(2)=e^{-2}$，根据罗尔定理，至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得$F'(\xi)=0$。
步骤 3：计算$F'(x)$并求解
$F'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$。令$F'(\xi)=0$，则$e^{-\xi}(f'(\xi)-f(\xi))=0$，由于$e^{-\xi}\neq 0$，则$f'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f(\xi)-f'(\xi)=1$。
令$g(x)=f(x)-1$，则$g(0)=f(0)-1=-1$，$g(1)=f(1)-1=1$。由于$g(x)$在$[0,1]$上连续，根据介值定理，至少存在一点$n\in (0,1)$，使得$g(n)=0$，即$f(n)=1$。
步骤 2：构造辅助函数并应用罗尔定理
令$F(x)=e^{-x}f(x)$，则$F(0)=e^{-0}f(0)=0$，$F(1)=e^{-1}f(1)=2e^{-1}$，$F(2)=e^{-2}f(2)=e^{-2}$。由于$F(x)$在$[0,2]$上连续，在$(0,2)$内可导，且$F(0)=0$，$F(2)=e^{-2}$，根据罗尔定理，至少存在一点$\xi \in (0,2)$，使得$F'(\xi)=0$。
步骤 3：计算$F'(x)$并求解
$F'(x)=e^{-x}f'(x)-e^{-x}f(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x))$。令$F'(\xi)=0$，则$e^{-\xi}(f'(\xi)-f(\xi))=0$，由于$e^{-\xi}\neq 0$，则$f'(\xi)-f(\xi)=0$，即$f(\xi)-f'(\xi)=1$。