题目

( (int )_(dfrac {pi )(4)}^dfrac (pi {3)}dfrac (x)({sin )^2x}dx ;

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对三角函数积分的掌握。关键在于合理选择分部积分中的$u$和$dv$，并正确计算积分过程中的各个步骤。

解题思路：

  1. 分部积分法：将被积函数$x \cdot \csc^2 x$拆分为$u = x$和$dv = \csc^2 x \, dx$，通过分部积分公式简化计算。
  2. 三角函数积分：计算$\int \cot x \, dx$时，需利用$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$的积分结果$\ln |\sin x|$。
  3. 代入上下限：注意计算上下限对应的$\cot x$值及对数项的化简。

分部积分法应用

  1. 设$u$和$dv$：
    设$u = x$，则$du = dx$；设$dv = \csc^2 x \, dx$，则$v = -\cot x$（因为$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x$）。

  2. 分部积分公式：
    $\int x \csc^2 x \, dx = -x \cot x + \int \cot x \, dx$

  3. 计算剩余积分：
    $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$，因此原式化简为：
    $-x \cot x + \ln |\sin x| + C$

代入上下限

  1. 代入上限$x = \frac{\pi}{3}$：

    • $\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$，对应项为$-\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}\pi}{9}$。
    • $\ln \sin \frac{\pi}{3} = \ln \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{2}\ln 3 - \ln 2$。

  2. 代入下限$x = \frac{\pi}{4}$：

    • $\cot \frac{\pi}{4} = 1$，对应项为$-\frac{\pi}{4} \cdot 1 = -\frac{\pi}{4}$。
    • $\ln \sin \frac{\pi}{4} = \ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{1}{2}\ln 2$。

  3. 合并结果：
    $\left( -\frac{\sqrt{3}\pi}{9} + \frac{1}{2}\ln 3 - \ln 2 \right) - \left( -\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \right) = \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{3}\pi}{9} \right) + \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$