(5)设X的概率密度函数 f(x)= ) (e)^-x,xgeqslant 0 0,xlt 0)= __

步骤 1：计算 $E(2X)$
$E(2X)$ 可以通过计算 $2E(X)$ 来得到，其中 $E(X)$ 是随机变量 $X$ 的期望值。根据期望的定义，$E(X)$ 可以通过积分计算得到：
$$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$$
对于给定的概率密度函数 $f(x)$，我们有：
$$E(X) = \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx$$
步骤 2：计算 $E(X)$
使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-x}$。因此：
$$E(X) = \left[-xe^{-x}\right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$$
$$E(X) = 0 + \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}$$
$$E(X) = 0 + 1 = 1$$
步骤 3：计算 $E(2X)$
根据步骤 1，$E(2X) = 2E(X) = 2 \times 1 = 2$。
步骤 4：计算 $E(e^{-2x})$
$E(e^{-2x})$ 可以通过积分计算得到：
$$E(e^{-2x}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x} f(x) dx$$
对于给定的概率密度函数 $f(x)$，我们有：
$$E(e^{-2x}) = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-x} dx$$
$$E(e^{-2x}) = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx$$
步骤 5：计算 $E(e^{-2x})$
$$E(e^{-2x}) = \left[-\frac{1}{3}e^{-3x}\right]_{0}^{\infty}$$
$$E(e^{-2x}) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$