题目
若平面一经过点一，且一与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小，则平面一的方程为一一一一
若平面
经过点
，且与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小，则平面的方程为
题目解答
答案
设所求平面
，则它与坐标面在第一象限内所围成的立体体积为
，故问题转化为目标函数
在条件
下的条件极值问题。
构造拉格朗日函数
，则
，解得唯一驻点，
。所以平面方程为
，所以选
。
解析
步骤 1：确定平面方程形式
设所求平面方程为 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$，其中 $a, b, c$ 为正数，因为平面经过点 $(2,1,\dfrac{1}{3})$，所以有 $\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{3c} = 1$。
步骤 2：确定体积表达式
平面与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积为 $V = \dfrac{1}{6}abc$，我们需要找到 $a, b, c$ 的值，使得 $V$ 最小。
步骤 3：使用拉格朗日乘数法求解
构造拉格朗日函数 $F(a,b,c,\lambda) = abc + \lambda (\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{3c} - 1)$，求偏导数并令其为零，得到方程组：
\[
\left\{
\begin{array}{l}
bc - \dfrac{2\lambda}{a^2} = 0 \\
ac - \dfrac{\lambda}{b^2} = 0 \\
ab - \dfrac{\lambda}{3c^2} = 0 \\
\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{3c} = 1
\end{array}
\right.
\]
解这个方程组，得到 $a = 6, b = 3, c = 1$。
步骤 4：确定平面方程
将 $a, b, c$ 的值代入平面方程，得到 $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1$，即 $x + 2y + 6z = 6$。
设所求平面方程为 $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$，其中 $a, b, c$ 为正数，因为平面经过点 $(2,1,\dfrac{1}{3})$，所以有 $\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{3c} = 1$。
步骤 2：确定体积表达式
平面与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积为 $V = \dfrac{1}{6}abc$，我们需要找到 $a, b, c$ 的值，使得 $V$ 最小。
步骤 3：使用拉格朗日乘数法求解
构造拉格朗日函数 $F(a,b,c,\lambda) = abc + \lambda (\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{3c} - 1)$，求偏导数并令其为零，得到方程组：
\[
\left\{
\begin{array}{l}
bc - \dfrac{2\lambda}{a^2} = 0 \\
ac - \dfrac{\lambda}{b^2} = 0 \\
ab - \dfrac{\lambda}{3c^2} = 0 \\
\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{3c} = 1
\end{array}
\right.
\]
解这个方程组，得到 $a = 6, b = 3, c = 1$。
步骤 4：确定平面方程
将 $a, b, c$ 的值代入平面方程，得到 $\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{1} = 1$，即 $x + 2y + 6z = 6$。