题目
不定积分int dfrac (1)(x(1-3ln x))dx=__________
不定积分
__________
题目解答
答案
由于
，于是利用凑微分法，有
，故答案为
解析
步骤 1：识别积分类型
观察积分$\int \dfrac {1}{x(1-3\ln x)}dx$，可以看出它是一个可以使用换元法解决的积分。特别地，由于$\dfrac {1}{x}dx$是$\ln x$的微分，我们可以尝试使用$\ln x$作为换元变量。
步骤 2：换元
设$u = \ln x$，则$du = \dfrac {1}{x}dx$。将原积分中的$\ln x$替换为$u$，$\dfrac {1}{x}dx$替换为$du$，得到$\int \dfrac {1}{1-3u}du$。
步骤 3：积分
现在积分变为$\int \dfrac {1}{1-3u}du$。这是一个简单的有理函数积分，可以使用基本积分公式$\int \dfrac {1}{a+bx}dx = \dfrac {1}{b}\ln |a+bx|+C$来解决。将$a=1$，$b=-3$代入，得到$\int \dfrac {1}{1-3u}du = -\dfrac {1}{3}\ln |1-3u|+C$。
步骤 4：回代
将$u = \ln x$代回，得到$-\dfrac {1}{3}\ln |1-3\ln x|+C$。
观察积分$\int \dfrac {1}{x(1-3\ln x)}dx$，可以看出它是一个可以使用换元法解决的积分。特别地，由于$\dfrac {1}{x}dx$是$\ln x$的微分，我们可以尝试使用$\ln x$作为换元变量。
步骤 2：换元
设$u = \ln x$，则$du = \dfrac {1}{x}dx$。将原积分中的$\ln x$替换为$u$，$\dfrac {1}{x}dx$替换为$du$，得到$\int \dfrac {1}{1-3u}du$。
步骤 3：积分
现在积分变为$\int \dfrac {1}{1-3u}du$。这是一个简单的有理函数积分，可以使用基本积分公式$\int \dfrac {1}{a+bx}dx = \dfrac {1}{b}\ln |a+bx|+C$来解决。将$a=1$，$b=-3$代入，得到$\int \dfrac {1}{1-3u}du = -\dfrac {1}{3}\ln |1-3u|+C$。
步骤 4：回代
将$u = \ln x$代回，得到$-\dfrac {1}{3}\ln |1-3\ln x|+C$。