题目
3-22 一物体在介质中按规律 =(c)^3 作直线运动,c为一常量.设介质对物-|||-体的阻力正比于速度的二次方.试求物体由 _(0)=0 运动到 =1 时,阻力所做的功.-|||-(已知阻力系数为k.)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体的速度
根据题目中给出的运动学方程 $x = c{t}^{3}$，我们可以通过对时间 $t$ 求导来得到物体的速度 $v$。
$$v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2}$$
步骤 2：确定阻力的大小
题目中提到阻力正比于速度的二次方，因此阻力的大小可以表示为：
$$F = k{v}^{2} = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4}$$
步骤 3：将阻力的大小表示为位置的函数
由于 $x = c{t}^{3}$，我们可以解出 $t$ 关于 $x$ 的表达式：
$$t = \left(\frac{x}{c}\right)^{\frac{1}{3}}$$
将 $t$ 的表达式代入阻力的大小公式中，得到阻力的大小关于位置 $x$ 的表达式：
$$F = 9k{c}^{2}\left(\frac{x}{c}\right)^{\frac{4}{3}} = 9k{c}^{\frac{2}{3}}{x}^{\frac{4}{3}}$$
步骤 4：计算阻力所做的功
阻力所做的功等于阻力与位移的乘积，即：
$$W = \int_{0}^{1} F dx = \int_{0}^{1} 9k{c}^{\frac{2}{3}}{x}^{\frac{4}{3}} dx$$
计算积分：
$$W = 9k{c}^{\frac{2}{3}}\int_{0}^{1} {x}^{\frac{4}{3}} dx = 9k{c}^{\frac{2}{3}}\left[\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}\right]_{0}^{1} = 9k{c}^{\frac{2}{3}}\cdot\frac{3}{7} = \frac{27}{7}k{c}^{\frac{2}{3}}$$
根据题目中给出的运动学方程 $x = c{t}^{3}$，我们可以通过对时间 $t$ 求导来得到物体的速度 $v$。
$$v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2}$$
步骤 2：确定阻力的大小
题目中提到阻力正比于速度的二次方，因此阻力的大小可以表示为：
$$F = k{v}^{2} = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4}$$
步骤 3：将阻力的大小表示为位置的函数
由于 $x = c{t}^{3}$，我们可以解出 $t$ 关于 $x$ 的表达式：
$$t = \left(\frac{x}{c}\right)^{\frac{1}{3}}$$
将 $t$ 的表达式代入阻力的大小公式中，得到阻力的大小关于位置 $x$ 的表达式：
$$F = 9k{c}^{2}\left(\frac{x}{c}\right)^{\frac{4}{3}} = 9k{c}^{\frac{2}{3}}{x}^{\frac{4}{3}}$$
步骤 4：计算阻力所做的功
阻力所做的功等于阻力与位移的乘积，即：
$$W = \int_{0}^{1} F dx = \int_{0}^{1} 9k{c}^{\frac{2}{3}}{x}^{\frac{4}{3}} dx$$
计算积分：
$$W = 9k{c}^{\frac{2}{3}}\int_{0}^{1} {x}^{\frac{4}{3}} dx = 9k{c}^{\frac{2}{3}}\left[\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}\right]_{0}^{1} = 9k{c}^{\frac{2}{3}}\cdot\frac{3}{7} = \frac{27}{7}k{c}^{\frac{2}{3}}$$