2.7计算题2.4中各系统的冲激响应。-|||-2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其零输入响应、零状态响应和全响应。-|||-(1) '(t)+4y'(t)+3y(t)=f(t) (0)=y'(0)=1 (t)=g(t)-|||-(2) '(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+3f(t) (0)=1, '(0)=2, (t)=(e)^-tg(t)-|||-(3) '(t)+2y'(t)+2y(t)=f'(t) (0)=0 ^*(0,=1, f(t)=g(t)

冲激响应是系统在单位冲激函数$\delta(t)$作用下的零状态响应，其求解核心在于：

1. 初始条件置零：冲激响应对应零状态，故初始状态$y(0^-)=0$，$y'(0^-)=0$；
2. 微分方程转换：将微分方程中的输入$f(t)$替换为$\delta(t)$，通过拉普拉斯变换或特征根法求解；
3. 非齐次项处理：若方程右侧含$\delta(t)$或其导数，需通过积分或变换域方法简化计算。

第（1）题

微分方程：$y''(t) + 4y'(t) + 3y(t) = \delta(t)$
特征方程：$r^2 + 4r + 3 = 0 \Rightarrow r = -1, -3$
齐次解：$y_h(t) = A e^{-t} + B e^{-3t}$
拉普拉斯变换：
$\mathcal{L}\{y'' + 4y' + 3y\} = 1 \Rightarrow Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4s + 3} = \frac{1}{(s+1)(s+3)}$
部分分式分解：
$Y(s) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+3} \right)$
逆变换：
$h(t) = 0.5 \left( e^{-t} - e^{-3t} \right) g(t)$

第（2）题

微分方程：$y''(t) + 4y'(t) + 4y(t) = \delta'(t) + 3\delta(t)$
特征方程：$r^2 + 4r + 4 = 0 \Rightarrow r = -2 \, (\text{重根})$
齐次解：$y_h(t) = (A + Bt) e^{-2t}$
拉普拉斯变换：
$\mathcal{L}\{\delta'(t) + 3\delta(t)\} = s + 3 \Rightarrow Y(s) = \frac{s + 3}{(s+2)^2}$
分解分子：
$s + 3 = (s + 2) + 1 \Rightarrow Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{1}{(s+2)^2}$
逆变换：
$h(t) = (t + 1) e^{-2t} g(t)$

第（3）题

微分方程：$y''(t) + 2y'(t) + 2y(t) = \delta'(t)$
特征方程：$r^2 + 2r + 2 = 0 \Rightarrow r = -1 \pm j$
齐次解：$y_h(t) = e^{-t} (A \cos t + B \sin t)$
拉普拉斯变换：
$\mathcal{L}\{\delta'(t)\} = s \Rightarrow Y(s) = \frac{s}{s^2 + 2s + 2}$
分子变形：
$s = (s + 1) - 1 \Rightarrow Y(s) = \frac{s + 1}{(s + 1)^2 + 1} - \frac{1}{(s + 1)^2 + 1}$
逆变换：
$h(t) = \sqrt{2} e^{-t} \cos \left( t + \frac{\pi}{4} \right) g(t)$