x)= |xsin x| ^cos x(-xlt xlt +infty )是( ) A. 有界函数 B. 单调函数 C. 周期函数 D. 偶函数

步骤 1：分析函数的奇偶性
函数$f(x) = |x\sin x|e^{\cos x}$，我们首先检查其奇偶性。对于偶函数，需要满足$f(-x) = f(x)$。计算$f(-x)$：
$$f(-x) = |-x\sin(-x)|e^{\cos(-x)} = |x\sin x|e^{\cos x} = f(x)$$
因此，$f(x)$是偶函数。

步骤 2：分析函数的周期性
函数$f(x)$由$|x\sin x|$和$e^{\cos x}$组成。$e^{\cos x}$是周期函数，周期为$2\pi$，但$|x\sin x|$不是周期函数，因为$x$的线性增长会破坏周期性。因此，$f(x)$不是周期函数。

步骤 3：分析函数的单调性
由于$f(x)$是偶函数，它在$x=0$处达到最小值，且随着$x$的增大，$|x\sin x|$和$e^{\cos x}$的值都会变化，因此$f(x)$不是单调函数。

步骤 4：分析函数的有界性
由于$|x\sin x|$随着$x$的增大而增大，而$e^{\cos x}$的值在$e^{-1}$和$e$之间波动，因此$f(x)$不是有界函数。