题目
9.[判断题]-|||-已知a,b为非零不共线向量,则有-|||-(a-b)times (a+b)=2(atimes b)-|||-A)对-|||-(B)错
题目解答
答案
解析
步骤 1：向量叉乘的分配律
向量叉乘满足分配律，即对于任意的向量 $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$，有 $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w}$。因此，$(a-b) \times (a+b)$ 可以展开为 $(a-b) \times a + (a-b) \times b$。
步骤 2：向量叉乘的性质
向量叉乘具有反交换律，即 $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}$。因此，$(a-b) \times a = a \times a - b \times a$，而 $a \times a = 0$（因为向量与自身的叉乘为零），所以 $(a-b) \times a = -b \times a$。同理，$(a-b) \times b = a \times b - b \times b$，而 $b \times b = 0$，所以 $(a-b) \times b = a \times b$。
步骤 3：合并结果
将步骤 2 的结果合并，得到 $(a-b) \times (a+b) = -b \times a + a \times b$。根据叉乘的反交换律，$-b \times a = a \times b$，因此 $(a-b) \times (a+b) = a \times b + a \times b = 2(a \times b)$。
向量叉乘满足分配律，即对于任意的向量 $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$，有 $\overrightarrow{u} \times (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{w}$。因此，$(a-b) \times (a+b)$ 可以展开为 $(a-b) \times a + (a-b) \times b$。
步骤 2：向量叉乘的性质
向量叉乘具有反交换律，即 $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{u}$。因此，$(a-b) \times a = a \times a - b \times a$，而 $a \times a = 0$（因为向量与自身的叉乘为零），所以 $(a-b) \times a = -b \times a$。同理，$(a-b) \times b = a \times b - b \times b$，而 $b \times b = 0$，所以 $(a-b) \times b = a \times b$。
步骤 3：合并结果
将步骤 2 的结果合并，得到 $(a-b) \times (a+b) = -b \times a + a \times b$。根据叉乘的反交换律，$-b \times a = a \times b$，因此 $(a-b) \times (a+b) = a \times b + a \times b = 2(a \times b)$。