将函数(1)/(x)展开成x-3的幂级数，正确的为(）A. sum_(n=0)^infty ((-1)^n+1)/(3^n+1) (x-3)^n, x in (0, 6)B. sum_(n=0)^infty ((-1)^n+1)/(3^n) (x-3)^n, x in (0, 6)C. sum_(n=0)^infty ((-1)^n)/(3^n) (x-3)^n, x in (0, 6)D. sum_(n=0)^infty ((-1)^n)/(3^n+1) (x-3)^n, x in (0, 6)

本题考查函数展开成幂级数的知识，解题思路是先对函数进行变形，使其符合已知幂级数展开式的形式，再利用已知幂级数展开式进行展开，最后确定展开式的收敛区间。

1. 对函数进行变形：
   已知要将函数$\frac{1}{x}$展开成$x - 3$的幂级数，可将$\frac{1}{x}$变形为$\frac{1}{3+(x - 3)}$，进一步变形为$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{x - 3}{3}}$。
2. 利用已知幂级数展开式进行展开：
   我们知道等比级数$\frac{1}{1 + t}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-t)^n$，其收敛区间为$\vert t\vert\lt 1$。
   令$t = \frac{x - 3}{3}$，则$\frac{1}{1+\frac{x - 3}{3}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-\frac{x - 3}{3})^n=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n}(x - 3)^n$。
   所以$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{x - 3}{3}}=\frac{1}{3}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n}(x - 3)^n=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^{n + 1}}(x - 3)^n$。
3. 确定展开式的收敛区间：
   因为$\frac{1}{1 + t}$展开式的收敛区间为$\vert t\vert\lt 1$，将$t = \frac{x - 3}{3}$代入可得$\vert\frac{x - 3}{3}\vert\lt 1$。
   解不等式$\vert\frac{x - 3}{3}\vert\lt 1$：
   • 当$\frac{x - 3}{3}\geq0$时，$\frac{x - 3}{3}\lt 1$，即$x - 3\lt 3$，解得$x\lt 6$。
   • 当$\frac{x - 3}{3}\lt0$时，$-\frac{x - 3}{3}\lt 1$，即$x - 3\gt - 3$，解得$x\gt 0$。
     所以收敛区间为$x\in(0, 6)$。