将函数 (x)=dfrac (1)({x)^2-x-2} 展开成 (x)=dfrac (1)({x)^2-x-2} 的幂级数

步骤 1：分解函数
将函数 $f(x)=\dfrac {1}{{x}^{2}-x-2}$ 分解为部分分式，即
$$
f(x) = \dfrac {1}{(x-2)(x+1)} = \dfrac {1}{3} \left( \dfrac {1}{x-2} - \dfrac {1}{x+1} \right)
$$
步骤 2：构造幂级数
构造幂级数，将每个部分分式转换为 $(x+3)$ 的幂级数形式。首先，将每个分式转换为 $(x+3)$ 的形式：
$$
\dfrac {1}{x-2} = \dfrac {1}{-5+x+3} = -\dfrac {1}{5} \cdot \dfrac {1}{1-(\dfrac {x+3}{5})}
$$
$$
\dfrac {1}{x+1} = \dfrac {1}{-2+x+3} = -\dfrac {1}{2} \cdot \dfrac {1}{1-(\dfrac {x+3}{2})}
$$
步骤 3：应用幂级数展开式
根据常见的幂级数展开式 $\dfrac {1}{1-x} = \sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n}$，$-1\lt x\lt 1$，将上述两个表达式展开为幂级数：
$$
\dfrac {1}{1-(\dfrac {x+3}{5})} = \sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+3}{5})}^{n} \quad , -1\lt \dfrac {x+3}{5}\lt 1
$$
$$
\dfrac {1}{1-(\dfrac {x+3}{2})} = \sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+3}{2})}^{n} \quad , -1\lt \dfrac {x+3}{2}\lt 1
$$
步骤 4：确定收敛域
对于 $\dfrac {1}{1-(\dfrac {x+3}{5})}$，其收敛域为 $-1\lt \dfrac {x+3}{5}\lt 1$，即 $-8\lt x\lt 2$。
对于 $\dfrac {1}{1-(\dfrac {x+3}{2})}$，其收敛域为 $-1\lt \dfrac {x+3}{2}\lt 1$，即 $-5\lt x\lt -1$。
因此，$f(x)$ 的收敛域为 $-5\lt x\lt -1$。
步骤 5：组合幂级数
将上述幂级数组合起来，得到 $f(x)$ 的幂级数展开式：
$$
f(x) = \dfrac {1}{3} \left( -\dfrac {1}{5} \sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+3}{5})}^{n} - (-\dfrac {1}{2}) \sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+3}{2})}^{n} \right)
$$
$$
= -\dfrac {1}{15} \sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+3}{5})}^{n} + \dfrac {1}{6} \sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x+3}{2})}^{n}
$$