求点P=(2,3,4)T绕x轴旋转45度后相对于参考坐标系的坐标。

考查要点：本题主要考查三维坐标系中点绕坐标轴旋转的坐标变换，涉及旋转矩阵的应用。

解题核心思路：

1. 确定旋转矩阵：绕x轴旋转θ角的矩阵形式为：
   $R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$
2. 矩阵与向量相乘：将点坐标与旋转矩阵相乘，得到旋转后的坐标。

破题关键点：

• 正确写出旋转矩阵，注意绕x轴旋转时，y和z坐标参与变换，x坐标保持不变。
• 代入角度值（45°），计算对应的三角函数值（$\cos45^\circ = \sin45^\circ \approx 0.707$）。
• 分步计算新坐标，避免计算错误。

步骤1：写出绕x轴旋转矩阵

绕x轴旋转45°的矩阵为：
$R_x(45^\circ) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0.707 & -0.707 \\ 0 & 0.707 & 0.707 \end{bmatrix}$

步骤2：矩阵与点坐标相乘

点$P=(2,3,4)^T$与旋转矩阵相乘：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0.707 & -0.707 \\0 & 0.707 & 0.707\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 \\3 \\4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\0.707 \cdot 3 - 0.707 \cdot 4 \\0.707 \cdot 3 + 0.707 \cdot 4\end{bmatrix}$

步骤3：计算新坐标

• x坐标：$2$（保持不变）。
• y坐标：$3 \cdot 0.707 - 4 \cdot 0.707 = -0.707$。
• z坐标：$3 \cdot 0.707 + 4 \cdot 0.707 = 4.95$。