设 A 为 m times n 矩阵，且非齐次线性方程组 AX = b 有惟一解，则必有（ ）A. m = nB. r(A) = mC. r(A) = nD. r(A) < n

我们来逐步分析这个题目。

题目给出：

• $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵；
• 非齐次线性方程组 $ AX = b $ 有唯一解；
• 要求判断哪一个选项必然成立。

第一步：理解“非齐次线性方程组有唯一解”的含义

对于非齐次线性方程组 $ AX = b $，它有解的充要条件是：

> 系数矩阵 $ A $ 与增广矩阵 $ [A \mid b] $ 的秩相等，即
> $> r(A) = r([A \mid b]) >$

而当这个条件满足时，解的个数取决于自由未知数的个数，也就是 $ n - r(A) $。

• 如果 $ r(A) = r([A \mid b]) < n $，则有无穷多解；
• 如果 $ r(A) = r([A \mid b]) = n $，则有唯一解；
• 如果 $ r(A) \ne r([A \mid b]) $，则无解。

题目中说“有唯一解”，所以：

$r(A) = r([A \mid b]) = n$

注意：这里 $ n $ 是未知数的个数（即列数），因为只有当秩等于未知数个数时，才没有自由变量，从而解唯一。

第二步：分析选项

我们逐个分析选项是否“必然成立”。

A. $ m = n $

意思是矩阵是方阵。

不一定成立。

举个反例：设 $ A $ 是一个 $ 3 \times 2 $ 矩阵（$ m=3, n=2 $），如果它的两列线性无关（秩为2），且 $ b $ 落在列空间中，那么 $ AX = b $ 有唯一解。

例如：
$A = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\1 & 1\end{bmatrix},\quad b = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}$
显然 $ r(A) = 2 = n $，且 $ b = A \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} $，解唯一。

但 $ m = 3 \ne 2 = n $，所以 $ m = n $ 不成立。

因此 A 不一定成立，不是“必有”。

B. $ r(A) = m $

意思是系数矩阵行满秩。

不一定成立。

比如上面的反例中，$ m = 3 $，但 $ r(A) = 2 < 3 $，所以 $ r(A) \ne m $。

但方程仍有唯一解。

所以 B 也不一定成立。

只有当 $ m \le n $ 且行满秩时才可能覆盖所有情况，但这里不要求。

所以 B 错。

C. $ r(A) = n $

这是关键！

前面我们已经分析过，要使 $ AX = b $ 有唯一解，必须：

• $ r(A) = r([A \mid b]) $（有解）
• 且 $ r(A) = n $（未知数个数），这样才能保证没有自由变量，解唯一。

注意：$ r(A) \le \min(m, n) $，所以 $ r(A) = n $ 意味着 $ n \le m $。

也就是说，列满秩，且增广矩阵不增加秩。

所以 $ r(A) = n $ 是唯一解的必要条件。

我们验证一下：

• 如果 $ r(A) < n $，则 $ n - r(A) > 0 $，自由变量存在，若有解，也是无穷多解；
• 所以要有唯一解，必须 $ r(A) = n $。

因此，C 是必然成立的。

D. $ r(A) < n $

这与 C 相反，我们刚刚说了 $ r(A) = n $ 是必须的，所以 D 错。

第三步：结论

只有选项 C 是在“非齐次线性方程组有唯一解”时必然成立的。

✅ 最终答案：

$\boxed{C}$

解题过程总结：

非齐次线性方程组 $ AX = b $ 有唯一解，必须满足两个条件：(1) 有解，即 $ r(A) = r([A \mid b]) $；(2) 解唯一，即没有自由变量，要求 $ r(A) = n $。因此，必然有 $ r(A) = n $。其他选项如 $ m = n $ 或 $ r(A) = m $ 都不一定成立。故正确选项是 C。