65.多选题(2分) 给定两向量X=(1,1,-2,4)及Y=(1,-1,3,2)，则两向量对应的点的（）。A. 欧氏距离为5B. 以∞-范数诱导的距离为5C. 欧氏距离为sqrt(35)D. 曼哈顿距离为9

本题考查向量之间不同距离度量的计算，解题思路是分别根据欧氏距离、以∞ - 范数诱导的距离、曼哈顿距离的计算公式来计算两向量对应点之间的距离。

1. 计算欧氏距离

欧氏距离的计算公式为$d_{E}=\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}$，其中$x_{i}$和$y_{i}$分别是向量$X$和$Y$的第$i$个分量。
将向量$X=(1,1,-2,4)\\)及\(Y=(1,-1,3,2)$代入公式可得：
$\begin{align*}d_{E}&=\sqrt{(1 - 1)^{2}+(1+ 1)^{2}+(-2 - 3)^{2}+(4 - 2)^{2}}\\&=\sqrt{0^{2}+2^{2}+(-5)^{2}+2^{2}}\\&=\sqrt{0 + 4+25 + 4}\\&=\sqrt{33}\end{align*}$
所以选项A和C错误。

2. 计算以∞ - 范数诱导的距离

以∞ - 范数诱导的距离的计算公式为$d_{\infty}=\max_{i = 1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$，即取向量$X$和$Y$对应分量差值的绝对值的最大值。
分别计算对应分量差值的绝对值：
$\vert1 - 1\vert = 0$，$\vert1+ 1\vert = 2$，$\vert-2 - 3\vert = 5$，$\vert4 - 2\vert = 2$。
取最大值可得$d_{\infty}=5$，所以选项B正确。

3. 计算曼哈顿距离

曼哈顿距离的计算公式为$d_{M}=\sum_{i = 1}^{n}\vert x_{i}-y_{i}\vert$，即取向量$X$和$Y$对应分量差值的绝对值的和。
将向量$X=(1,1,-2,4)$及$Y=(1,-1,3,2)$代入公式可得：
$\begin{align*}d_{M}&=\vert1 - 1\vert+\vert1+ 1\vert+\vert-2 - 3\vert+\vert4 - 2\vert\\&=0 + 2+5 + 2\\&=9\end{align*}$
所以选项D正确。