25.计算星形线 =a(cos )^3t =a(sin )^3t 图 6-26) 的全长.-|||-yì-|||-a-|||-x=acos^3-|||-asin`t-|||-=a a-|||-图 6-26

步骤 1：确定星形线的参数方程
星形线的参数方程为 $x=a{\cos }^{3}t$ 和 $y=a{\sin }^{3}t$，其中 $a$ 是常数，$t$ 是参数。

步骤 2：计算弧长的微分
星形线的弧长微分 $ds$ 可以通过参数方程的导数计算得到。首先，计算 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数：
$$
\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2t\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2t\cos t
$$
然后，根据弧长微分公式 $ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$，我们有：
$$
ds = \sqrt{(-3a\cos^2t\sin t)^2 + (3a\sin^2t\cos t)^2}dt
$$
$$
ds = \sqrt{9a^2\cos^4t\sin^2t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}dt
$$
$$
ds = 3a\sqrt{\cos^2t\sin^2t(\cos^2t + \sin^2t)}dt
$$
由于 $\cos^2t + \sin^2t = 1$，我们得到：
$$
ds = 3a\sin t\cos tdt
$$

步骤 3：计算星形线的全长
星形线的全长 $s$ 可以通过积分 $ds$ 来计算。由于星形线是关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称的，我们只需要计算第一象限的弧长，然后乘以 4 即可得到全长。因此，我们有：
$$
s = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3a\sin t\cos tdt
$$
$$
s = 12a\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t\cos tdt
$$
利用换元法，令 $u = \sin t$，则 $du = \cos tdt$，当 $t = 0$ 时，$u = 0$；当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$u = 1$。因此，我们有：
$$
s = 12a\int_{0}^{1} udu
$$
$$
s = 12a\left[\frac{u^2}{2}\right]_{0}^{1}
$$
$$
s = 12a\left(\frac{1}{2} - 0\right)
$$
$$
s = 6a
$$