题目
已知100件产品中有5件次品，95件正品，从其中有放回地抽取3件，则取出的产品中正好有2件次品的概率是( )A. (19)/(3234)B. (57)/(3234)C. (19)/(8000)D. (57)/(8000)
已知100件产品中有5件次品，95件正品，从其中有放回地抽取3件，则取出的产品中正好有2件次品的概率是( )
A. $\frac{19}{3234}$
B. $\frac{57}{3234}$
C. $\frac{19}{8000}$
D. $\frac{57}{8000}$
题目解答
答案
D. $\frac{57}{8000}$
解析
步骤 1：确定抽取方式
题目中提到的是有放回地抽取，这意味着每次抽取后，产品会放回原处，因此每次抽取的概率是独立的。
步骤 2：计算单次抽取次品的概率
由于有5件次品和95件正品，总共有100件产品，所以单次抽取次品的概率为$\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$。
步骤 3：计算单次抽取正品的概率
单次抽取正品的概率为$\frac{95}{100}=\frac{19}{20}$。
步骤 4：应用二项分布公式
由于是独立重复试验，我们可以使用二项分布公式来计算恰好有2件次品的概率。公式为${C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中$n=3$（抽取次数），$k=2$（次品数），$p=\frac{1}{20}$（单次抽取次品的概率）。
因此，概率为${C}_{3}^{2}(\frac{1}{20})^{2}(\frac{19}{20})^{1}=\frac{3}{1}(\frac{1}{20})^{2}(\frac{19}{20})=\frac{3}{1}\times\frac{1}{400}\times\frac{19}{20}=\frac{57}{8000}$。
题目中提到的是有放回地抽取，这意味着每次抽取后，产品会放回原处，因此每次抽取的概率是独立的。
步骤 2：计算单次抽取次品的概率
由于有5件次品和95件正品，总共有100件产品，所以单次抽取次品的概率为$\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$。
步骤 3：计算单次抽取正品的概率
单次抽取正品的概率为$\frac{95}{100}=\frac{19}{20}$。
步骤 4：应用二项分布公式
由于是独立重复试验，我们可以使用二项分布公式来计算恰好有2件次品的概率。公式为${C}_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，其中$n=3$（抽取次数），$k=2$（次品数），$p=\frac{1}{20}$（单次抽取次品的概率）。
因此，概率为${C}_{3}^{2}(\frac{1}{20})^{2}(\frac{19}{20})^{1}=\frac{3}{1}(\frac{1}{20})^{2}(\frac{19}{20})=\frac{3}{1}\times\frac{1}{400}\times\frac{19}{20}=\frac{57}{8000}$。