题目

两个质量分别为(m)_(1)和(m)_(2)的木块A和B,用一个质量忽略不计、倔强系数为k的弹簧联接起来,放置在光滑水平面上,使A紧靠墙壁,用力推木块B使弹簧压缩(x)_(0),然后释放．已知(m)_(1)=m,(m)_(2)=3m,求：（1）释放后,A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小;（2）释放后,弹簧的最大伸长量..

两个质量分别为${m}_{1}$和${m}_{2}$的木块A和B,用一个质量忽略不计、倔强系数为k的弹簧联接起来,放置在光滑水平面上,使A紧靠墙壁,用力推木块B使弹簧压缩${x}_{0}$,然后释放．已知${m}_{1}=m$,${m}_{2}=3m$,求：

（1）释放后,A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小;
（2）释放后,弹簧的最大伸长量.

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题目解答

答案

【答案】设弹簧恢复到原长时,B的速度为${v}_{B}$

则由机械能守恒可得$frac {1} {2}k{{x}_{0}}^{2}=frac {1} {2}{m}_{2}{{v}_{B}}^{2}$,则${v}_{B}=sqrt {frac {k{{x}_{0}}^{2}} {{m}_{2}}}=sqrt {frac {k} {3m}}{x}_{0}$

设A,B速度相等时为${v}_{共}$

由系统动量守恒可得${m}_{2}{v}_{B}=({m}_{1}+{m}_{2}){v}_{共}$

得${v}_{共}=frac {3} {4}sqrt {frac {k} {3m}}{x}_{0}$

当A,B取共同速度时,弹簧得到最大伸长量x
由机械能守恒可得$frac {1} {2}{m}_{2}{{v}_{B}}^{2}-frac {1} {2}({m}_{1}{+m}_{2}){{v}_{共}}^{2}=frac {1} {2}k{x}^{2}$

得：$x=frac {1} {2}{x}_{0}=0.5{x}_{0}$

答：（1）$frac {3} {4}sqrt {frac {k} {3m}}{x}_{0}$；（2）$0.5{x}_{0}$

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解析

考查要点：本题主要考查机械能守恒和动量守恒的综合应用，涉及弹簧连接体的运动分析。

解题核心思路：

  1. 分阶段分析：将运动过程分为弹簧恢复原长、速度相等、弹簧最大伸长三个关键阶段。
  2. 机械能守恒：在弹簧压缩和伸长过程中，系统机械能守恒（无摩擦）。
  3. 动量守恒：当弹簧伸长导致两木块速度相同时，水平方向动量守恒。

破题关键点：

  • 第一问：弹簧恢复原长时，B速度最大；速度相等时，系统动量守恒。
  • 第二问：速度相等后，弹簧继续伸长，机械能守恒求最大伸长量。

第（1）题

弹簧恢复原长时的速度

初始弹簧压缩量为$x_0$，由机械能守恒：
$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}m_2v_B^2$
解得：
$v_B = x_0 \sqrt{\frac{k}{3m}}$

速度相等时的共同速度

当A、B速度相等时，系统动量守恒：
$m_2v_B = (m_1 + m_2)v_{\text{共}}$
代入$m_1 = m$，$m_2 = 3m$，得：
$v_{\text{共}} = \frac{3}{4}x_0 \sqrt{\frac{k}{3m}}$

第（2）题

弹簧最大伸长量的计算

从弹簧恢复原长到最大伸长量，机械能守恒：
$\frac{1}{2}m_2v_B^2 = \frac{1}{2}(m_1 + m_2)v_{\text{共}}^2 + \frac{1}{2}kx^2$
代入$v_B$和$v_{\text{共}}$，化简得：
$x = \frac{1}{2}x_0$