题目

填空题（共10题，20.0分）15.（2.0分）设5阶行列式|A|=3，|B|=4，则|A^TB|=____.

填空题（共10题，20.0分） 15.（2.0分）设5阶行列式|A|=3，|B|=4，则|A^{T}B|=____.

题目解答

答案

根据行列式性质，有 $ |A^T| = |A| $ 和 $ |AB| = |A||B| $。已知 $ |A| = 3 $，$ |B| = 4 $，则 \[ |A^T B| = |A^T||B| = |A||B| = 3 \times 4 = 12. \] 答案：$\boxed{12}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式的两个基本性质：转置行列式的性质和乘积行列式的性质。

解题核心思路：

  1. 转置行列式的性质：矩阵的转置行列式等于原行列式，即 $|A^T| = |A|$。
  2. 乘积行列式的性质：两个矩阵相乘的行列式等于各自行列式的乘积，即 $|AB| = |A||B|$。

破题关键点：
将 $|A^T B|$ 分解为 $|A^T| \cdot |B|$，再代入已知条件即可求解。

根据行列式的性质：

  1. 转置行列式的性质：
    $|A^T| = |A| = 3$
  2. 乘积行列式的性质：
    $|A^T B| = |A^T| \cdot |B| = |A| \cdot |B|$
  3. 代入已知条件：
    $|A| = 3, \quad |B| = 4$
    因此：
    $|A^T B| = 3 \times 4 = 12$