设(X,Y)的联合密度为 (X,Y)(1)求常数(X,Y);(2)求(X,Y)落入以(X,Y)为顶点的正方形内的概率;(3) (X,Y)是否独立?

步骤 1：求常数k
根据联合密度函数的性质，联合密度函数在整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1
$$
代入给定的联合密度函数，我们得到：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{(1+x^2)(1+y^2)} \, dx \, dy = 1
$$
由于积分是可分离的，我们可以将其分解为两个独立的积分：
$$
k \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+y^2} \, dy = 1
$$
这两个积分都是标准的积分，其结果为$\pi$，因此我们有：
$$
k \pi \pi = 1
$$
从而得到：
$$
k = \frac{1}{\pi^2}
$$

步骤 2：求(X,Y)落入以(0,0) (0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率
我们需要计算联合密度函数在正方形区域内的积分。正方形的顶点为(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)，因此积分的范围为0到1。我们有：
$$
P((X,Y) \in [0,1] \times [0,1]) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f(x,y) \, dx \, dy
$$
代入联合密度函数，我们得到：
$$
P((X,Y) \in [0,1] \times [0,1]) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{\pi^2} \frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)} \, dx \, dy
$$
由于积分是可分离的，我们可以将其分解为两个独立的积分：
$$
P((X,Y) \in [0,1] \times [0,1]) = \frac{1}{\pi^2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \, dx \int_{0}^{1} \frac{1}{1+y^2} \, dy
$$
这两个积分都是标准的积分，其结果为$\frac{\pi}{4}$，因此我们有：
$$
P((X,Y) \in [0,1] \times [0,1]) = \frac{1}{\pi^2} \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{1}{16}
$$

步骤 3：判断X,Y是否独立
为了判断X和Y是否独立，我们需要检查联合密度函数是否可以分解为两个边缘密度函数的乘积。边缘密度函数可以通过对联合密度函数进行积分得到。我们有：
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dy = \frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)} \, dy = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}
$$
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \, dx = \frac{1}{\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)} \, dx = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+y^2}
$$
因此，我们有：
$$
f(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \frac{1}{(1+x^2)(1+y^2)} = \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+y^2} = f_X(x) f_Y(y)
$$
因此，X和Y是独立的。